Demostrar que $f(7) = 56$ $f(1)$ $f(9)$ $f' \le 6$

Question

Deje $f(x)$ se sigue de la función en $[1,9]$ y diferenciable en a $(1,9)$ también $f(1) = 20 , f(9) = 68 $ $ |f'(x)| \le 6$ por cada $x \in (1,9)$.

Necesito demostrar que $f(7) = 56$.

Empecé utilizando el teorema de Lagrange y se encontró que no existe $ 1<c<9$ tal que $f'(c) = 6$ pero no estoy seguro de cómo es esto relevante y cómo proceder.

Answer 1

1. Suponga $f(7)>56$. ¿Qué es el valor medio teorema de decir que en algún lugar existe en el intervalo de $(1,7)$?
2. Suponga $f(7)<56$. ¿Qué es el valor medio teorema de decir que en algún lugar existe en el intervalo de $(7,9)$?

Conclusión: $f(7)\not>56$$f(7)\not<56$, por lo que debemos tener $f(7)=56$.

Answer 2

Me gustaría decir que, con las condiciones dadas, la única posible función es una línea, conectando a $(1,20)$$(9,68)$.

Digamos que la curva está por debajo de la línea, en algún punto de $(x1,y1)$. Entonces, se tiene que volver a la línea final, como que necesita para llegar a $(9,68)$, en algún punto de $(x2,y2)$. La derivada de $f(x)$, en el intervalo de $(x1,x2)$, debe en algún momento a ser igual a $\frac{y2−y1}{x2−x1}>6$.

Si se apaga, por encima de la línea, entonces podemos aplicar un lugar mismo razonamiento.

Answer 3

Sugerencia: Considerar $g(x)=f(x)-6x$, valores y derivados, o, alternativamente, $h(x)=6x+14-f(x)$