Función racional que es bijective en la unidad de disco

Question

¿Cuál es la forma general de una función racional que es bijective en la unidad de disco?

Estoy atascado en este problema. Si dejo $R(z) = \frac{a_0(z-a_n) \cdots (z-a_1)}{(z-b_m)\cdots (z-b_1)}$, exactamente una de las $a_i$ debe caer en la unidad de disco y ninguna de las $b_i$ puede estar en la unidad de disco.

Consejos sobre cómo proceder? Veo a las funciones simples como $z$ del trabajo, pero no sé cómo demostrar que el aumento de las combinaciones de ellos son bijective.

Answer 1

La única bijective holomorphic funciones de la unidad de disco en el mismo son de la forma $e^{i\theta}\psi_\alpha$ donde $\theta$ es real y $$ \psi_\alpha(z) = \frac{z - \alpha}{1-\bar{\alpha}z} $$ con $|\alpha| < 1$. Para una prueba, considere la posibilidad de cualquier bijective holomorphic función de $f$ desde la unidad de disco en sí mismo. Elegir un valor adecuado de $\alpha$ en el disco y, a continuación, aplicar el lema de Schwarz a $f\circ \psi_\alpha$ y su inversa.

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Añadido. Aquí un poco más de detalle, según lo solicitado por @Esperanza. Utilizamos el hecho de que un holomorphic bijection tiene un holomorphic inversa. En primer lugar, un cálculo muestra que $\psi_\alpha$ mapas de la unidad de disco $\mathbb D$ dentro de sí mismo, y desde la inversa se puede calcular de forma explícita como $\psi_{-\alpha}$, es bijective. Ahora suponga $f : \mathbb D \to \mathbb D$ que es bijective, y elija el único punto de $\alpha \in \mathbb D$ satisfacción $f(\alpha) = 0$. Considere la posibilidad de $g = f\circ \psi_{-\alpha}$, y tenga en cuenta que $\psi_{-\alpha}(0) = \alpha$. Por las observaciones anteriores, $g$ es un holomorphic bijection de $\mathbb D$ que fija el origen. Por el lema de Schwarz, uno ha $|g'(0)| \leq 1$ con igualdad si y sólo si $g$ es una rotación. A la inversa mapa de $h = g^{-1}$ también mapas de $\mathbb D$ dentro de sí mismo, y satisface $h(0) = 0$, por lo que tenemos $|h'(0)| \leq 1$. Pero $h'(0) = 1/g'(0)$, por lo que nos encontramos con que $|g'(0)| = 1$, después de todo. Por el caso de la igualdad en el lema de Schwarz, $g$ es una rotación, y por lo tanto $f = e^{i\theta}\psi_{\alpha}$ de $\theta$.