¿Por qué una subvariedad de una variedad de tipo general es del tipo general

Question

Parece un hecho bien conocido que las subvariedades de una variedad de tipo general que contiene un punto general son también de tipo general. Este hecho es una propiedad esencial utilizado para demostrar algunos teoremas de extensión de pluricanonical formas algebraicas en las variedades de tipo general, véase, por ejemplo, la muy agradable encuesta sobre la extensión de pluricanonical formas

www-fourier.ujf-grenoble.fr/ECOLETE/2007/cours/pacienza.pdf.

Quiero saber por qué esto es cierto? Hay alguna cosa más se puede decir acerca de la relación entre el canónica de la línea de haz de una variedad y que de subvarities de codimension no menos de 2.

Answer 1

Usted necesita tener cuidado acerca de lo que significa "general". Generalmente, esto significa "un punto en un determinado Zariski conjunto abierto". Así, en particular, esta declaración podría decir que en una superficie de tipo general todos racional y curvas elípticas se encuentran en una Zariski subconjunto cerrado. Este es Lang conjetura, todavía abierto creo (pruebas fueron sugeridas unos 15 años atrás, pero luego se retira).

EDIT: OK, así que a partir de los comentarios y la otra parece que debe ser un "punto general de $X$", y la declaración reduce a mostrar que si usted tiene un morfismos $f:Y\to T$ con irreductible $T$ general y de fibra de $Y_t$, y de un número finito de dominante de morfismos $\pi:Y\to X$, $Y_t$ es también de tipo general.

La razón básica por la que es muy simple: si $X$ es de tipo general, a continuación, que tiene un montón de pluricanonical formas. Usted puede traer de vuelta a $Y$ (son formas diferenciales, después de todo) y tener un montón de pluricanonical formas en $Y$. A continuación, puede restringir a $Y_t$ y conseguir un montón de pluricaninical formas en $Y_t$.

Para una respuesta más precisa, le sugiero que busque en papeles viejos por Kawamata, Viehweg y Kollar, búsqueda para "aditividad de Kodaira dimensión". Hay toda una secuencia de $C_{n,m}$ conjeturas acerca de la Kodaira dimensión de un fibration $Y$ en términos de Kodaira dimensiones de $T$$Y_t$. Algunos de ellos son probados, algunos todavía están abiertos.

(Nota: de tipo general, significa "la máxima de Kodaira dimensión", es decir, igual a la dimensión de la variedad.)

Answer 2

Permítanme reproducir el correspondiente bit de la referencia arriba:

Ejercicio 3.1. Deje $X$ ser una variedad de tipo general. Demostrar que un subvariedad de $X$ pasa a través de un punto general es de tipo general.

Bogomolov demostrado en su papel de "Familias de curvas en una superficie de tipo general" de que las superficies de tipo general, la satisfacción de $c_1^2 > c_2$ contienen a lo sumo un número finito de racional y curvas elípticas. Se desconoce si el mismo es cierto para cualquier superficie de tipo general. Así, en el ejercicio anterior punto general no significa que fuera una subvariedad cerrada. En su lugar, significa fuera de una contables de unión cerrado de subvariedades. Por supuesto, el autor se está teniendo en cuenta todas sus variedades definidas sobre $\mathbb C$.

Estándar de argumentos reduce el ejercicio de las siguientes

Ejercicio. Deje $X$ ser una variedad de el tipo general. Si $Y \rightarrow T$ es una familia de irreductible general tipo de subvariedades de $X$ parametrizadas por un irreductible compleja variedad $T$, entonces la natural de mapa de $Y\to X$ no es dominante.