Suponga que $f_n\to f$ en medir y $\sup_n\|f_n\|_{L^p(E)}<\infty$ algunos $p>1$. Demostrar que $f_n$ converge a $f$ $L^1$ norma.

Question

Deje $\{f_n\}$ $f$ ser Lebesgue medibles funciones en $E$ donde $|E|<\infty$. Suponga que $f_n\to f$ en medir y $\sup_n\|f_n\|_{L^p(E)}<\infty$ algunos $p>1$.

(a) Probar que $f_n$ converge a $f$ $L^1$ norma.

(b) Mostrar por contraejemplo de que esta convergencia no puede mantener si usted reemplace el $L^p$ condición con $\sup_n \|f_n\|_{L^1(E)}$.

Puedo lidiar con la demostración por contraejemplo parte. Deje $f_n(x)=n\chi_{[0,\frac{1}{n}]}$$E=[0,1]$, $f_n(x)\to 0$ en la medida. Sin embargo, $\int_0^1 f_n(x)-f(x)dx=1$.

Estoy atascado en la demostración de la parte (a), traté de usar Egorova teorema, que requiere de $f_n\to f$.e. Desde $f_n \to f$ en la medida, entonces hay una larga $f_{n_k}$ confluyen una.e. A continuación, $f_{n_k}$ converge uniformemente en un conjunto compacto $F$. Por lo $$\int_{E}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx=\int_{F}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx+\int_{E\backslash F}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx$$ Por la uniformidad de la convergencia de $f_{n_k}$$F$,$\int_{F}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx<\epsilon M$.

Yo tengo problemas con el $\int_{E\backslash F}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx$ part.

$\int_{E\backslash F}|f_{n_k}(x)-f(x)|dx<\|f_{n_k}(x)-f(x)\|_{L^p(E\backslash F)}\|\Bbb{1}\|_{L^q(E\backslash F)}<\epsilon \|f_{n_k}(x)-f(x)\|_{L^p(E\backslash F)} $ por parte del Titular de la desigualdad.

Entonces, ¿cómo mostrar a $\|f_{n_k}(x)-f(x)\|_{L^p(E\backslash F)}$ es realmente limitada por la condición dada en el problema? Y si $\|f_{n_k}(x)-f(x)\|_{L^p(E\backslash F)}$ es acotado, esto solo demuestra la larga $f_{n_k}$ converge en $L^1$ norma, cómo se muestran los $f_n$ también converge en $L^1$ norma?

Podría alguien amablemente ayuda? Gracias!

Answer 1

Usted ha hecho la mayor parte de la obra ya. Para mostrar que $\|f_{n_k} - f \|_{L^p(E \setminus F)}$ es acotado, tenga en cuenta que por el triángulo (Minkowski) la desigualdad, $$\|f_{n_k}-f \|_{L^p(E \setminus f)} \leq \|f_{n_k}\|_{L^p(E)} + \|f\|_{L^p(E)}.$$ By Fatou's lemma, $$\|f\|_{L^p(E)}^p = \int_E |f|^p = \int_E \lim\limits_{k \to \infty} |f_{n_k}|^p \leq \liminf\limits_{k \to \infty} \int |f_{n_k}|^p \leq \sup\limits_n \|f_n\|^p < \infty.$$

Para cuidar de la larga problema, el siguiente se aplica en un contexto más general de la configuración, y es bastante útil. Por lo que ya está demostrado, se tiene que cualquier subsequence de $f_n$ tiene un sub-subsequence que converge a $f$. Por lo tanto, el conjunto de $\{f_n\}_n$ ha compacto de cierre en la $L^1$. El siguiente es verdadero: vamos a $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto, y deje $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ ser una secuencia en $X$ de manera tal que cada convergente larga de $\{x_n\}$ converge al mismo límite de $x$. A continuación, $\{x_n\}$ converge a $x$. Prueba: supongamos que no. Entonces existe $\epsilon>0$ y una larga $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ $d(x_{n_k},x)>\epsilon$ todos los $k$. Desde $X$ es compacto, $\{x_{n_k}\}$ tiene un convergentes subsequence $\{x_{n_{k_j}}\}_{j=1}^\infty$. Pero $\{x_{n_{k_j}}\}$ es convergente larga de $\{x_n\}$, y por lo tanto debe converger a $x$, contradiciendo nuestra definición de $\{x_{n_k}\}$. Aplicar esto para el cierre de la secuencia en $L^1$ para completar la prueba.