Que es el dominio?

Question

Deje $X \subseteq \mathbb{R}$ $f,g : X \rightarrow X $ ser funciones continuas tales que $f(X) \cap g(X) = \emptyset$$f(X) \cup g(X) = X$. Entonces cual de los siguientes no ser $X$ ?

A. $[0,1]$
B. $(0,1)$
C. $[0,1)$
D. $\mathbb{R}$

Ahora puedo ver B. , C. , D. puede ser $X$ a través de algunos ejemplos. A continuación, A. debe ser la respuesta. También se $[0,1]$ es compacto y conectó su imagen en $f$ $g$ tiene que ser cerrado intervalos y no a cerrado sub-intervalos se pueden encontrar de $[0,1]$ satisfacer todos los criterios anteriores. Pero esta es mi intuición. Cómo comenzar si tengo que escribir una prueba sólida para la opción A. ?

Answer 1

Desde $[0,1]$ es compacto, también se $f([0,1])$ $g([0,1])$ son compactos y por lo tanto cerrado.

Deje $[0,1]$ ser distinto de la unión de $f([0,1])$$g([0,1])$. Debido a $f([0,1])=[0,1] \setminus g([0,1])$ el conjunto $f([0,1])$ debe estar abierto. Esto contradice $f([0,1])$ ser cerrado, ya que el sólo sienta en $[0,1]$, que es a la vez abierto y cerrado se $[0,1]$$\emptyset$. Debido a $f([0,1])$ $g([0,1])$ tiene al menos un elemento, $f([0,1])$ no puede ser $[0,1]$ o vacío.