Si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es una serie convergente de números reales positivos, entonces también lo es $\sum_{n=1}^\infty a_n^{n/({n+1})}$

Question

Esta es la $1988$ Putnam $B4$ Problema:

Probar que si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es una serie convergente de números reales positivos, entonces también lo es $\sum_{n=1}^\infty a_n^{n/({n+1})}$.

Mi problema radica en averiguar qué hacer en caso de que $0\lt a_n \lt 1$ todos los $n$. Me imagino que debe tener algo que ver con el límite de la prueba de comparación. Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

Deje $A=\{n: a_n \le2^{-n-1}\}$$B=\{n:a_n>2^{-n-1}\}$. Si $n\in A$, luego $a^{n/(n+1)}_n\le 2^{-n}$ y por lo tanto $$ \sum_{n\in A}^{n/(n+1)}_n\le \sum_{n\in A}2^{n}\le 1, $$ mientras que, si $a_n> 2^{-n-1}$,$2^{n+1}a_n> 1$, y por lo tanto $2a_n^{1/(n+1)}>1$ y, por tanto,$2a_n>a_n^{n/(n+1)}$. Por lo tanto $$ \sum_{n\in B}a_n^{n/(n+1)}\le 2\sum_{n\in\mathbb N}a_n $$ Así $$ \sum_{n\in\mathbb N}a_n^{n/(n+1)}= \sum_{n\in A}a_n^{n/(n+1)}+\sum_{n\in B}a_n^{n/(n+1)} \le 1+2\sum_{n\in\mathbb N}a_n. $$

Answer 2

Límite de comparación parece buena. ¿Qué podemos decir acerca de $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_n^{n/(n+1)}}=\lim_{n\to\infty}a_n^{1/(n+1)}?$$