Heegaard la división y asignación de grupo de clase

Question

Me gustaría preguntar acerca de la definición de la Heegaard división. Los siguientes son los hechos que yo conozco.

1. Un Heegaard dividir dice que toda 3-variedad se construye a partir de dos handlebodies y un homeomorphism entre los límites de la handlebodies.

2. Si $f$ $g$ son isotópicas tales homeomorphisms, las 3-variedades obtenidos son homeomórficos.

Este es el hecho de lo que yo sé y quiero probarlo. Pero no sé cómo probar la segunda parte.

1. ¿Cómo puedo demostrar que dos isotópica homeomorphisms de los límites de handlebodies producir la homeomórficos 3-variedades?

2. También, más en general, vamos a $M$ $M'$ 3-variedades con frontera. Supongamos que $A\subset \partial M$ $B \subset \partial M'$ son homeomórficos sub colectores. Deje $f:A \to B$ ser un homeomorphism de$A$$B$. Nos pegamento $M$ $M'$ través $f$. ¿El homeomorphism clase de la resultante del colector depende sólo de la isotopía de la clase de la homeomorphism $f$?

3. ¿La respuesta de las preguntas anteriores, dependen de lo que las 3-variedades quiero a considerar? Como, suave, topológico, pieza de sabios lineal etc.

Edit: no estoy familiarizado con el "collar" en el comentario de abajo. Agradezco si uno puede explicar con más detalle. También quiero saber si el collar existe para cualquier tipo de colectores.

Answer 1

Los comentarios de arriba y las referencias que contiene son buenas respuestas, en mi opinión.

Permítanme añadir una imagen de cómo construir una explícita homeo, dadas dos isotópica gluings. Como Tim kinsella dice, el uso de los collares y el cilindro dado por la isotopía.

Espero que esta muy mala imagen puede ayudar.

La primera fila de la foto dice cómo construir un colector de inserción entre el $M_1$ $M_2$ un cilindro $\partial M_1\times [0,1]$. Este es el cilindro de la isotopía de los dos gluings $f_1$$f_2$. Dicen que de la cola a la izquierda a través de $f_1$ y en el derecho a través de $f_2$. Llamar a este colector $\hat M$

Las dos parte de abajo de la foto dice que se puede "insertar" el cilindro de la isotopía en un collar de $\partial M_1$, así como en un collar de $\partial M_2$.

Así que la segunda línea es el resultado de encolado $M_1$ $M_2$ través $f_2$ y el tercero es el resultado de encolado $M_1$ $M_2$ través $f_1$.

Ambos son homeo a $\hat M$.