Dejemos que $A,C$ sea $n$ -matriz simétrica, $A$ es negativa definida, mientras que $C$ es positiva definida. Supongamos que $AX+XA+2C=0$ tiene una solución única $X=B$ , demuestre entonces que $B$ es real, simétrica y definida positiva.
¿Cómo probarlo? No tengo ni idea. Muchas gracias.
Apuesto a que hay múltiples soluciones (de las cuales muchas serán más elegantes que la mía):
1) @Berci demostró bellamente en su comentario, que si $B$ es único, entonces es real y simétrico. Por lo tanto, basta con demostrar que todos los valores propios son positivos.
2) Que $\lambda$ sea un valor propio de $B$ con el vector propio $v$ . Entonces tienes
$$v^TABv+v^TBAv=-2v^TCv$$ $$\Leftrightarrow 2\lambda v^TAv=-2v^TCv$$
El lado derecho es negativo por hipótesis y también lo es el factor $v^tAv$ . Por lo tanto, $\lambda$ es positivo.
3) En realidad se puede demostrar que $B$ existe y es único. Utilizando el cambio de base podemos suponer que $A$ es diagonal con entradas negativas $a_i$ . Entonces $B$ se da explícitamente como
$$B_{ij}=\frac{-2}{a_i+a_j}C_{ij}$$
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