Encontrar el mínimo valor de esta expresión: $P=\sqrt{a^2+(1-bc)^2}+\sqrt{b^2+(1-ca)^2}+\sqrt{c^2+(1-ab)^2}$

Question

Deje $a,b,c\in R$ y de satisfacciones $a^2+b^2+c^2=1$

Encontrar el mínimo valor de esta expresión: $P=\sqrt{a^2+(1-bc)^2}+\sqrt{b^2+(1-ca)^2}+\sqrt{c^2+(1-ab)^2}$

Answer 1

Debemos considerar que no sólo negativo $a, b, c$: $P(a, b, c)=P(-a, -b, -c)$ significa que si todos los tres son negativos podemos reemplazarlos con números positivos, si exactamente dos son negativos, entonces podemos reemplazar con un triple de tener sólo uno negativo, y, finalmente, si sólo uno es negativo (es decir $a$), $P(a, b, c) \ge P(-a, b, c)$ nos da una mejor mínimos en números positivos. Así WLOG, considere la posibilidad de $a, b, c \in [0, 1]$.

Por Cauchy-Schwarz, $\left(a^2+(1-bc)^2\right)(3+4) \ge \left(\sqrt3a+2(1-bc)\right)^2$ $\implies \sqrt{a^2+(1-bc)^2} \ge \frac1{\sqrt7} \left(2+\sqrt3a-2bc\right)$ $\implies \sqrt7P \ge 6+\sqrt3(a+b+c) -2(ab+bc+ca)$

Ahora si $x=a+b+c, \; 2(ab+bc+ca)=x^2-1$$\sqrt7P \ge 7+x(\sqrt3-x)$. Como $x$ es no negativo y $x \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)} = \sqrt3$, el mínimo es de hecho al $x=\sqrt3$, dando $P\ge \sqrt7$.

Podemos observar que todas las desigualdades utilizado lograr la igualdad simultáneamente al $a=b=c=\frac1{\sqrt3}$.

Answer 2

$3u=a+b+c,3v=ab+bc+ac \implies 9u^2-6v=1$

editar:

$P \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(3-(3b+bc+ac))^2}=\sqrt{(9u^2+(3-3v)^2}=\sqrt{1+6v+9-18v+9v^2}=\sqrt{(2-3v)^2+6} $

$3v=ab+bc+ac \le a^2+b^2+c^2 =1 $

$ 2-3v \ge 1 \implies \sqrt{(2-3v)^2+6} \ge \sqrt{7}$

la última "=" se mantenga al $a=b=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

otro "=" se mantenga al $\dfrac{a}{1-bc}=\dfrac{c}{1-ab}=\dfrac{b}{1-ac}=\dfrac{a+b+c}{3-(ab+bc+ac)}=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}a^2 \pm 2a -\sqrt{3}=0 \implies a=\pm \sqrt{3}$ o $\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} $

por lo $P_{min}=\sqrt{7}$ se obtuvo al $a=b=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$