aritmética con cuánticos enteros

Question

Consideremos el anillo de $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$. Para $n \in \mathbb{N}$, definir el quantum enteros:

$$[n]_q := \frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}} = q^{n-1} + q^{n-3} + \cdots + q^{-(n-3)} + q^{-(n-1)}$$

¿Cuál es la fórmula general para multiplicar y dividir cuánticos enteros? Este es probablemente conocida pero no tengo una referencia. Por ejemplo, tenemos

$$ [2]_q[2]_q = [3]_q+1, \ \ \ \ [4]_q[3]_q = [6]_q+[4]_q+[2]_q, \ \ \ \ \frac{[6]_q}{[2]_q} = [5]_q-[3]_q+1 $$

También, ¿cuál es la relación entre estos cuánticos enteros, y los que se definen como

$$ [n]_q := \frac{1-p^n}{1-p} = 1 + q + \dots + q^{n-1}? $$

Gracias. Edit: se corrigió la primera fórmula

Answer 1

Un poco largo para un comentario:

Hay un "más " estándar" manera de hacer las cuánticos enteros en un anillo a través de los llamados quantum de la suma: $[x]_q\oplus_q[y]_q=[x]_q+q^x[y]_q$. Si usted trabaja fuera, esto le dará $[x]_q\oplus_q [y]_q=[x+y]_q$.

No hay una definición similar para la multiplicación: $[x]_q\otimes_q [y]_q=[x]_q[y]_{q^x}$, que si el trabajo le brinda $[x]_q\otimes_q [y]_q=[xy]_q$. Para obtener más detalles, consulte las primeras páginas de este documento. Lo que es más importante, hacen que el conjunto de $[n]_q$ en un anillo. En la sección 3 del documento, que obra más clásica resultados de $[x]_q[y]_q$$[x+y]_q$.

Answer 2

He elaborado una fórmula para la multiplicación ya que al hacer esta pregunta:

$$ [n]_q[n+k]_q = \sum_{j=0}^{n-1} [2n-1+k-2j]_q $$

No he encontrado una gran necesidad de una fórmula para la división aún así no he probado a trabajar, pero voy a actualizar mi respuesta si me encuentro con uno. Aunque he de tener en cuenta que no suele acabar con una combinación lineal de quantum enteros, por ejemplo

$$ \frac{[5]_q}{[2]_q} = \frac{1+p^2+q^4+x^6+q^8}{q^3+q^5} = \frac{1}{p+q^{-1}}[5]_q $$

pero sucede que en mi caso yo soy interesado en, precisamente, lo divisiones resultado en una combinación lineal de quantum enteros. Todavía estoy interesado en ninguna otra referencia para cuánticos enteros.