Dado un círculo fijo " c " y un punto fijo " A "(en el plano de la circunferencia), trazar la tangente a la circunferencia en un punto variable " X " (móvil, pero obligado a estar en el círculo), reflejan " A " a través de la tangente para obtener el punto " A' ", ¿cuál es la ecuación del lugar geométrico trazado por " A' " como " X "realiza una rotación completa en el círculo?
Tomemos el círculo dado por $$(x,y)=(\cos t,\sin t)$$ .
Podemos suponer que el punto $A$ está en el $X$ eje: $A(a,0)$ .
Para cada $t\in[0,2\pi)$ la tangente a la circunferencia es $r_t:x\cos t+y\sin t=1$ .
La perpendicular a $r_t$ que pasa por $A$ es $$s_t:x\sin t-y\cos t=a\sin t$$
Ahora calculamos $B=r_t\cap s_t$ omito los detalles, ya que se trata simplemente de un sistema lineal 2x2: $$B(\cos t+a\sin^2 t,-a\sin t\cos t+\sin t)$$ Ahora, $$\overrightarrow {AB}=(\cos t+a\sin^2 t-a,\sin t-a\sin t\cos t)$$ Desde $A'=A+2\overrightarrow{AB}$ , $$A'(2\cos t+2a\sin^2t-a,2\sin t-2a\sin t\cos t)$$
Se puede escribir el resultado final más sencillamente como $$(2\cos t-a \cos 2t, 2 \sin t - a\sin 2 t)$$ En $a=1$ (o cuando el radio del círculo es $a$ ), la curva es una cardioide . Así pues, un cardioide es el lugar de las reflexiones de un punto determinado en un círculo a través de todas las tangentes a ese círculo. ¡Genial!
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