Cómo solucionar para $x$$\sqrt[4]{x+27}+\sqrt[4]{55-x}=4$?

Question

Estoy tratando de adivinar un método para obtener los valores que el trabajo en esta irracional ecuación: $$\sqrt[4]{x+27}+\sqrt[4]{55-x}=4, x\in\mathbb C$$

Después de usar la fórmula $a^4+b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2+b^3)$ y haciendo algunas amplificaciones, he acabado en esta fase: $$p=x+27, r=55-x \\\sqrt[4]{p^3}+\sqrt[4]{r^3}-\sqrt{p}\sqrt[4]{r}+\sqrt[4]{p}\sqrt{r}=\frac{82}{4}$$ que claramente es complicado que la ecuación inicial.

También, el aumento de la potencia de $4$, no es eficiente, ya sea: usted va a terminar con la mezcla de los radicales. Tal vez estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Deje $\displaystyle x+27=a^4, 55-x=b^4\implies a^4+b^4=82$ $a+b=4$

$\displaystyle a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=\{(a+b)^2-2ab\}^2-2a^2b^2$ $\displaystyle=(16-2ab)^2-2a^2b^2=256+2a^2b^2-64ab$

$\displaystyle\implies 2(ab)^2-64ab+256=82\iff2(ab)^2-64ab+174=0$

Resolver la ecuación cuadrática para $ab$ y ya tenemos a $a+b=4$

Caso $1: ab=3,$ esto conduce a cálculos sencillos

Caso $2: ab=29,$ $a,b$ son las raíces de $\displaystyle t^2-4t+29=0$

$\displaystyle\implies (i)a,b $ $2\pm5i$

y $\displaystyle(ii)t^2=4t-29$

$\displaystyle\implies t^4=(4t-29)^2=16t^2-29\cdot8t+29^2$ $\displaystyle=16(4t-29)-29\cdot8t+29^2=29(29-16)-8t(29-8)=377-168t$

$\displaystyle\implies$ los valores de $\displaystyle a^4,b^4$ $\displaystyle377-168(2\pm5i)=41\mp840i$

Encontrar $x$ en cada caso y comprobar si los valores se ajustan

Answer 2

Tenga en cuenta que la función definida por el segundo radical es el reflejo de que el definido por el primero, en la línea de $x=14$, con rango de $-27\leqslant x\leqslant 55.$ También, la cuarta-de la raíz de la función de la disminución de gradiente positivo. Por lo que la suma tiene la disminución de gradiente positivo entre el$-27$$14$, gradiente cero en $14$, y la disminución de la negativa del gradiente entre el$14$$55$. En cada extremo de la gama, la suma es de cerca de $3$, y alcanza su máximo de $5$$x=14$. A partir de esto, se puede observar que la ecuación original tiene sólo dos soluciones. Ahora, si usted busca un entero $x$ $14$ $55$ tanto $x+27$ $55-x$ son de cuarta poderes, usted encontrará fácilmente; y la simetría le dará la solución.

Answer 3

Supongo que si quieres u x a ser positivos y enteros, luego x=54 Usted sabe que el segundo término de 55 rayos x 1/4 , si u hacer este término 1, que es igual a $1^4$ y el primer término es x+27 a $81=3^4$

así que aquí x=54 es un trivialsolution mientras que para el método estoy de acuerdo con @lab bhattacharjee método