Encontrar un diferenciable $f$ tal que $\mathrm{Zeros}(f)=\mathbb{any\; closed \;set}$

Question

Deje $B\subset \mathbb{R}^2$ ser un conjunto cerrado.

Cómo demostrar que no es una función derivable $f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $$Z(f)=B$$

donde $$Z(f)=\{x\in\mathbb{R}^2:f(x)=0\}$$

Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Voy a adaptar el MO respuesta por Harald Hanche-Olsen, llenando en algunos detalles, y teniendo en cuenta que no piden $C^\infty$, pero sólo para una función derivable.

Vamos $$E_0=\{x\colon\operatorname{dist}(x,B)\ge 1 \}$$ y para $k=1,2,\ldots$ vamos $$E_k=\{x\colon 2^{-k}\le \operatorname{dist}(x,B)\le 2^{1-k}\}$$ Estos conjuntos de cubrir el complemento de $B$. También vamos a $$F_k=\{x\colon \operatorname{dist}(x,E_k)\le 2^{-k-2}\}$$ ser una "ampliación" de $E_k$ que aún queda lejos de la $B$.

Deje $\omega$ ser una función suave en $\mathbb R^2$ tal que $\omega\ge 0$, $\omega(x)=0$ al $|x|\ge 1/2$, e $\omega(x)>0$ al $|x|\le 1/4$. Deje $\omega_k(x) = \omega( 2^{ k}x)$.

La convolución de $\chi_{F_k}$ $\omega_k$ tiene las siguientes propiedades:

• es tan suave como la $\omega$ es
• es no negativo
• es cero en el set $ \{x\colon \operatorname{dist}(x,F_k) > 2^{-k-1}\}$, la cual contiene un conjunto $ \{x\colon \operatorname{dist}(x,B ) < 2^{-k-2}\}$
• es estrictamente positiva en $E_k$
• que no exceda el $4^{-k}\int_{\mathbb R^n} \omega$.

Definir
$$f=\sum_{k=0}^\infty (\chi_{F_k}*\omega_k) \tag{1}$$
y observar que

• $f$ es estrictamente positiva en el complemento de $B$, y se desvanece en $B$.
• $f$ satisface una estimación de la forma $f(x)\le C(\operatorname{dist}(x,B ))^2$, debido a la distancia alrededor de $2^{-k}$ $B$ toma valores acerca de la $4^{-k}$
• Por lo anterior, $f$ es diferenciable en a $B$.
• $f$ es también diferenciable en el complemento de $B$, debido a que cada punto de este complemento tiene un barrio en que sólo un número finito de términos de (1) son diferentes de cero.

---

Como Harald Hanche-Olsen notas, la introducción de un decayendo rápidamente de peso se puede hacer la suma de $C^\infty$ liso, por ejemplo, $$f=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k^2} (\chi_{F_k}*\omega_k )$$

Answer 2

Tal vez usted podría tratar de usar el hecho de que cada subconjunto abierto de los reales puede ser escrito como una contables de la unión de distintos intervalos abiertos.

EDIT: lo Siento, una lectura errónea de la pregunta, y creo que hay una solución más simple de todos modos. Puede usted pensar en una solución que produce una función continua y modificarlo para que sea derivable? ¿Qué tipo de función puede ser cero en todas partes en un conjunto y distinto de cero fuera de ella?

Answer 3

Sería algo parecido a este trabajo?

Deje $B \subset \mathbb{R}^2$ ser un conjunto cerrado. Definir una función $f$ $$ f(x) = \text{dist}(x,B)$$ donde $$ \text{dist}(x,B) = \inf_{b\in B} d(x,b) $$