Cómo mostrar que $f(x)=x^2$ es continua en a $x=1$?
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Para demostrar que el límite existe con la definición fundamental. Aquí es cómo proceder.
Debemos demostrar que para cada $\epsilon >0$ hay $\delta >0$ tal que si $0<|x-1|<\delta\,,$$|x^2-1|<\epsilon$. Búsqueda de $\delta$ es más fácil de lograr trabajando hacia atrás. Manipular la segunda desigualdad hasta que contiene un término de la forma $x-1$ como en la primera desigualdad. Esto es fácil aquí. Primero $$ |x^2-1|=|x+1||x-1| \,. $$ En el anterior, hay no deseados factor de $|x+1|$, que debe estar acotada. Si nos aseguremos de que los $\delta<1$ $$ |x-1|<\delta<1 \,,$$ entonces $$ |x-1|< \delta \implies |x-1|< 1 \implies -1<x-1<1 \,$$ La adición de $2$ a la última desigualdad se da $$ 1<x+1<3 \implies |x+1|<3\,.$$ Por lo tanto, si $$ |x^2-1|=|x+1||x-1|<3|x-1|<\epsilon \implies |x-1|<\frac{\epsilon}{3}\,. $$ Ahora, seleccione $\delta = \mathrm{min}\left\{ 1, \frac{\epsilon}{3}\right\} $.
Verificación: dado $\epsilon >0$, vamos a $\delta = \mathrm{min}\left\{ 1, \frac{\epsilon}{3}\right\} $. A continuación, $0<|x-1|<\delta$ implica que
$$ |x^2-1|=|x+1||x-1|<3|x-1|<3 \delta=3 \frac{\epsilon}{3} = \epsilon.$$
Andrew Bolster
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Si quieres saber si una función es continua, entonces la definición de lo que se necesita para que una función sea continua es importante. De Cálculo por Varberg, Purcell, y Rigdon:
Deje $f$ ser definida en un intervalo abierto que contiene a $c$. Decimos que $f$ es continua en a $c$ si $$\lim_{x \to c} f(x) = f(c).$$
Aviso, esto en realidad consta de tres partes,
- $f(c)$ está definido
- $\lim\limits_{x \to c} f(x)$ existe
- Los dos valores en las partes 1 y 2 son iguales.
Así, usted necesita para mostrar las 3 partes de este se cumplen con la función de $f(x) = x^2$ e al $c = 1$, o averiguar qué parte no es cierto.
Es $f(1)$ definido? ¿Qué es? Qué $\lim\limits_{x \to 1} x^2$ existen? ¿Cuál es su valor? Son los dos valores de la misma?
Emanuele Paolini
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El producto de funciones continuas es continua. La función de $x$ es continuo, por lo tanto también es $x^2=x\cdot x$ es continua.
La prueba de que el producto de forma continua las funciones es continua, simplemente se basa en el teorema que afirma que el límite de un producto es el producto de los límites.
Kevin
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Deje $\epsilon > 0$ ser arbitraria. Elija $\delta = \sqrt{\epsilon+1}-1 > 0$. Suponga que $|x-1|<\delta$. Ahora $|f(x)-f(x_0)|=|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|\leq |x-1||x+1|<(\sqrt{\epsilon+1}-1)(\sqrt{\epsilon+1}-1+2)=\epsilon$
porque si $|x-1|<\delta \Leftrightarrow -\delta < x-1 < \delta|+2 \Leftrightarrow -\delta+2 < x-1+2 < \delta+2 \Leftrightarrow |x+1| < \delta+2 =\sqrt{\epsilon+1}-1+2$
a continuación,$|x+1|<\sqrt{\epsilon+1}-1+2$.
Esto es correcto?
Tomas Dabasinskas
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En su 1821 texto "Cours d'Analyse", Cauchy se define la continuidad de $y=f(x)$ requerir que un infinitesimal $x$de incremento debe necesariamente producir un cambio infinitesimal en $y$. De acuerdo a esta definición, si $f(x)=x^2$, $\alpha$ infinitesimal, el cambio en el $y$ es, precisamente,$f(x+\alpha)-f(x)=(x+\alpha)^2-x^2=(x+\alpha+x)(x+\alpha-x)=\alpha(2x+\alpha)$. Desde $2x+\alpha$ es finito, el producto $\alpha(2x+\alpha)$ es infinitesimal. Por lo tanto, $f(x)=x^2$ es continua por definición.
