Puede una la variedad asociada a un finitely generadas $K$-subalgebra de $K[X]$ ser embebido en $\mathbb{A}^3$?

Question

Deje $K$ ser un campo.

Hay un ejemplo de un finitely generadas $K$-subalgebra $$ A\subseteq K[X] $$ which is not isomorphic to $K[T_1,T_2,T_3]/I$ para ideal $I$?

Como $A$ es finitely generado, podemos escribir $A\cong K[X_1,X_2,\ldots, X_n]/I$ algunos $n$. Geométricamente esto significa, que la variedad asociada a $A$ puede ser embebido en $\mathbb{A^n}$. Esta variedad es $0$-dimensional o $1$-dimensional. Tengo la vaga topológica de la intuición, de que un objeto debe ser integrable en $\mathbb{A^3}$ igual que un gráfico en $\mathbb{R^3}$.

Answer 1

Set $A=K[X^4,X^5,X^6,X^7]$. El ideal maximal $(X^4,X^5,X^6,X^7)$ $A$ es generado por los cuatro elementos, y no menos (por qué?). Esto demuestra que $A\not\simeq K[T_1,T_2,T_3]/I$.

Answer 2

El subalgebra de $K[X]$ generado por $X^{10}$, $X^{11}$, $X^{12}$ y $X^{13}$ no puede ser generado por tres elementos.