Prueba de la suficiencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Question

Entiendo que las ecuaciones de Cauchy-Riemann $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ y $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$ son necesario para que una función compleja sea diferenciable de forma compleja, pero me gustaría ver una prueba de que también son suficiente para que esto sea cierto. Estoy asumiendo que estas derivadas parciales existen y son continuas en todos los lugares donde se satisfacen.

Answer 1

Pues bien, vamos a inspirarnos en el álgebra lineal.

Recuerde que en los cultivos multivariables, siempre consideramos la derivada como un mapeo lineal, o más concretamente, una matriz. Ahora vamos a aplicarlo en el caso del espacio lineal complejo.

Dejemos que $f$ sea una función compleja sobre $ \mathbb{C} $ entonces $f$ es homolófico en el punto $z_0\in \mathbb{C}$ si y sólo si $Df(z_0)$ es un mapa lineal complejo de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C} $ . A continuación, identifique $i$ a una matriz $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ es decir, consideramos que $i$ como un mapa lineal complejo que gira el plano 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. Siguiente, $Df(z_0)$ es un mapa lineal complejo si y sólo si $Df(z_0)$ se desplaza con $i$ (¿crees que por qué?), es decir, $Df(z_0)=\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}$

$$\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}$$

si y sólo si $u_x=v_y, u_y=-v_x.$

Answer 2

Una función $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ representa un mapa complejo-lineal (con respecto a la estructura compleja-lineal estándar en $\mathbb{R}^2$ dado por $i\cdot(u,v) = (-v,u)$ ) si su matriz con respecto a la norma $\mathbb{R}$ -tiene la forma $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ (ejercicio fácil). Si $f(x,y) = (u(x,y),v(x,y))$ es $C^1$ entonces su derivada (de nuevo en la base estándar) es la matriz $\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}.$

Ahora bien, tenga en cuenta que $f$ es diferencialmente complejo en un punto si y sólo si es diferencialmente real allí y su derivada es un mapa lineal complejo. (Demostración: $f$ es diferencialmente complejo en $z$ con $f'(z) = a \in \mathbb{C}$ si y sólo si $f(z+h) = f(z) + ah + o(h),$ y cualquier $\mathbb{C}$ -mapa lineal $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tiene la forma $h \mapsto ah$ para algunos $a \in \mathbb{C}.$ ) Combinando esto con las observaciones anteriores vemos que una función $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es diferenciable por complejos si y sólo si es diferenciable por reales y sus partes reales e imaginarias satisfacen las ecuaciones C-R. En particular, si $f$ es de la clase $C^1$ entonces $f$ es diferencialmente complejo si y sólo si sus partes real e imaginaria satisfacen las ecuaciones C-R.

Answer 3

La integral alrededor de cada triángulo es cero por el teorema de Green. Si la integral alrededor de cada triángulo es cero entonces la función es diferenciable compleja por el teorema de Morera. Hecho.