¿Cuál es el menor número entero positivo que es divisor?

Question

Decimos que un número entero positivo $N$ es divisor si los dígitos de los divisores positivos de $N$ incluyen todos los dígitos de base diez de $0$ a $9$ . ¿Cuál es el menor número entero positivo que es divisor?

No vi una forma fácil de encontrar el menor de esos $N$ . Sabemos que $N$ debe contener un factor de $2$ y $5$ Pero, ¿cómo podemos encontrar el menor de esos $N$ ?

Answer 1

$2\cdot 3^3\cdot 5=270$ .

De 1,3,5, $3^3=27$ y $3^2=9$ , obtenemos todos los dígitos Impares, y multiplicando por dos, obtenemos todos los pares. Podemos ver que todos los factores primos aquí son necesarios, y por la minimidad de los factores primos en cuestión, no podemos obtener uno menor.

Answer 2

En primer lugar, vemos que tal $N$ debe ser un múltiplo de $2$ ya que de lo contrario los dígitos de las unidades de los divisores nunca serían pares. También vemos que $N$ debe ser un múltiplo de $5$ ya que cualquier número que tenga una cifra de unidades de $5$ debe ser un múltiplo de $5$ . Así, $N$ es un múltiplo de $10$ y así podemos escribir $$N = 2 \cdot 5k$$ para algún número entero positivo $k$ . Ahora tomamos dos casos:

Caso $1$ : $3 \mid N$

En este caso demostramos que el mínimo $N = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ . Si el exponente de $3$ se reduce, entonces el nuevo primo $7$ debe añadirse a la factorización primaria de $N$ y así $3^2 \nmid N$ De lo contrario, $N$ sería mayor. Pero entonces tenemos el mínimo tal $N$ para ser $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ que no tiene un divisor con un dígito de unidad de $9$ . Así, el exponente de $3$ no se puede reducir y por lo tanto $N$ es mínima en este caso.

Caso $2$ : $3 \nmid N$

En este caso demostramos que $N > 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ . Debemos añadir un nuevo primo mayor o igual a $7$ en la factorización primaria de $2 \cdot 5$ . También debemos añadir al menos otro primo, ya que de lo contrario tendremos exactamente $8$ divisores y no puede ser $2$ ya que no podemos obtener un dígito de unidades de $8$ . Por lo tanto, tenemos $N \geq 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ lo que significa que $N > 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ desde $7 \cdot 5 > 3^3$ .