Simétrico del triángulo de vértices

Question

Tengo el siguiente problema :

Mostrar que la simétrica (es decir, la reflexión) de un triángulo de vértices por el lado contrario, están alineados iff la distancia entre el ortocentro y el circuncentro es el doble del circunradio.

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He hecho un par de fotos con GeoGebra para intentar y encontrar una manera de resolver esto, pero realmente no ayuda.

Cuando dos de ellos ( $A'$ $C'$ ) están en el mismo lugar :

Cuando son distintos y alineados :

Answer 1

Primero dibuja las líneas a través de las $A', B'$ $C'$ paralelo a$BC, CA$$AB$. Estos hacen un triángulo $A''B''C''$ decir. Ver el diagrama de abajo.

1) vamos a demostrar que $A''B''C''$ es una ampliación de $ABC$ factor de escala $4$ desde el centroide $G$.

Es fácil ver que $BYZ$ es una ampliación de $BCA$ factor de escala $2$$B$. Por lo tanto $YZ = 2CA$ y lo mismo para los otros dos lados. También se $BC=CY$ etc.

El cuadrilátero $YC''XC$ es un paralelogramo, por lo $YC''=XC$. Aplicando esto a cada lado le da ese $A''C''= 4AC$ etc.

Ya que las diagonales de un paralelogramo bisecar simpatia, $C''C$ intersecta $YX$ en su punto medio. Y desde $C''YX \cong CAB$ por SAS, se deduce que el $C''C, A''A, B''B$ se cruzan en el centro de gravedad, lo que nos da nuestra declaración original que queríamos probar anteriormente.

2) sabemos que $GH = 4GT$ para cualquier triángulo y que $T$ se encuentra en el círculo $ABC$ (desde $OH$ es el doble del circunradio y debido a $OT = TH$). Se sigue de esto y la ampliación de ese $H$ se encuentra en el círculo $A''B''C''$.

Pero ahora note que $A'B'C'$ es simplemente la línea de Simson círculo de $A''B''C''$$H$! Por lo tanto $A', B'$ $C'$ son colineales, según sea necesario. Lo contrario es, simplemente, el último paso aplicada hacia atrás, a la inversa de los Simson Teorema también es cierto.

Espero que esto ayude!