Matando a los automorfismos para hacer un functor representable

Question

Me dijeron (rápidamente) por mi profesor sobre el siguiente yoga:

Digamos que queremos definir un functor $F:\operatorname{Sch}\to \operatorname{Set}$ que parametrizes alguna clase de objetos. Si los objetos no trivial de automorfismos, entonces no podemos esperar que la $F$ a ser representable. Hay dos soluciones para este tema:

1. Sheafify el functor $F$ con el fin de obtener una gavilla fppf
2. Rigidify los objetos que desea parametrizar, con el fin de matar a sus automorfismos

Ahora, en el presente momento no tengo el tiempo para ir a través de la teoría subyacente. Así

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Me podría dar alguna intuición sobre los yoga?

¿Por qué son los automorfismos de una obstrucción a la representatividad de la functor?

¿Qué significa, en términos simples, para un functor a ser un fppf gavilla?

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Tengo un ejemplo muy motivador para esta pregunta:

Deje $X$ $T$ planes $S$; la relación Picard functor $Pic_{X/S}:Sch_S \to Ab$ está definido por $$ T \mapsto \left\{ \text{Rigidified line bundles}\text{ on } X_T/T \right\} $$ y no secomo $$ T \mapsto \left\{ \text{Line bundles}\text{ on } X_T/T \right\} $$ La principal diferencia entre la línea de haces y la impuesta rígidamente es que este último no tiene ningún trivial automorfismos.

Bajo la hipótesis razonable de la primera functor resulta ser representable, mientras que el primero no.

Answer 1

Con respecto a #2, aquí es una cuestión relacionada. La idea es bastante simple: la existencia de trivial automorfismos implica la existencia de trivial isotrivial familias (es decir, con todas las fibras isomorfo/equivalente). Para ver por qué se echa a perder representatividad, supongamos que tenemos un trivial isotrivial familia $\mathcal X\to B$. No existe un único mapa $B\to P$ donde $P$ supuestamente representa a cualquiera de los módulos functor que nos interesa, que $\mathcal X\to B$ es el pullback a través de este mapa de la familia universal,$\mathcal U\to P$. El mapa de $B\to P$ es claramente constante, por el hecho de que las fibras son isomorfos. Pero esto es imposible, ya que el retroceso de $\mathcal U\to P$ a través de una constante mapa es el trivial de la familia.

Esperemos que alguien te pueda decir algo acerca de la #1.