Para cualquier número primo $p$ y cualquier elemento $a$ del campo finito $\mathbb{F}_{p^2}$ de orden $p^2$ ¿tenemos $$a^{p+1} \in \mathbb{F}_p \subset \mathbb{F}_{p^2}?$$
Respuesta
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Per Hornshøj-Schierbeck
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Como nadie pica, elevo mi comentario a respuesta.
El mapa de Frobenius $F:\Bbb{F}_{p^2}\to\Bbb{F}_{p^2}, F(x)=x^p$ es un automorfismo del campo $L=\Bbb{F}_{p^2}$ . Su campo fijo es el campo primo $K=\Bbb{F}_p$ . Porque $L$ consiste en los ceros de $x^{p^2}-x$ sabemos que $F$ es de orden dos en $\operatorname{Gal}(L/K)$ .
Pero siempre que $\sigma$ es un automorfismo de orden 2 de un campo $F$ tenemos que $z\sigma(z)$ está en el campo fijo de $\sigma$ . Al fin y al cabo, es un producto de imágenes bajo todos los poderes distintos de $\sigma$ por lo que aplicar $\sigma$ a ella sólo permuta los factores. El ejemplo con el que probablemente esté familiarizado un principiante es la conjugación compleja habitual que tiene como campo fijo el subcampo de los números reales. En ese caso, este hecho implica que $z\overline{z}\in\Bbb{R}$ para todos los números complejos $\Bbb{C}$ .
De todos modos, para todos $a\in L$ tenemos $$ a^{p+1}=a\cdot a^p=a F(a), $$ por lo que se trata de un elemento del campo fijo $K$ .
El mapa $a\mapsto a F(a)$ es también el mapa normativo $N_K^L$ . El resultado se generaliza en esa forma a todas las extensiones de campos cíclicos. Si $L/K$ es cualquier extensión de Galois finita tal que $\operatorname{Gal}(L/K)$ está generado por un único automorfismo $\sigma$ de orden $n$ , entonces para todos los $z\in L$ la norma $$ N^L_K(z)=\prod_{i=0}^{n-1}\sigma^i(z)\in K. $$ Cualquier extensión de campos finitos es cíclica, por lo que esta analogía se aplica a todos ellos.
