Ayuda para derivar la anomalía de Adler-Bell-Jackiw

Question

Estoy atascado en la derivación de la Anomalía de Adler-Bell-Jackiw . Esto se discute en la página 666 de Peskin y Schroeder (ecuación 19.76) o estas notas en la página 14 (ecuación 39).

Según estas fuentes, podemos evaluar un elemento de la matriz como \begin{equation} \langle x | e^{-\partial^2/M^2} | x \rangle = \displaystyle\lim_{x \to y} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik \cdot (x-y)} e^{k^2/M^2} \end{equation} donde $M$ es un regularizador. Quizá esta ecuación sea realmente trivial, pero estoy completamente perdido y me gustaría recibir ayuda.

Lo que he intentado hasta ahora es insertar los estados propios del momento: \begin{equation} \begin{aligned} \langle x | e^{-\partial^2/M^2} | x \rangle & = \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2 \pi)^4} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; \langle x |p \rangle \langle p | e^{-\partial^2/M^2}|k \rangle \langle k | x \rangle \\& = \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2 \pi)^4} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; e^{ix \cdot (p-k) } \langle p | e^{-\partial^2/M^2}|k \rangle \\& = \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2 \pi)^4} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; e^{ix \cdot (p-k) } e^{k^2/M^2} \delta^4(p-k) \end{aligned} \end{equation} No tengo ni idea de si estoy en el camino correcto, o lo anterior es una completa tontería. Cualquier ayuda es muy apreciada.

En respuesta al comentario de Adam:

La razón por la que no estaba seguro de lo que había hecho era la $\lim_{x \to y}$ parte. ¿Hay alguna razón por la que lo evaluemos como: \begin{equation} \begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \to y} \langle y | e^{-\partial^2/M^2} | x \rangle & = \displaystyle\lim_{x \to y} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; \langle y | e^{-\partial^2/M^2}|k \rangle \langle k | x \rangle \\& = \displaystyle\lim_{x \to y} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; e^{k^2/M^2} e^{i k \cdot (y-x)} \\& = \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; e^{k^2/M^2} \end{aligned} \end{equation} Mientras que también podríamos evaluarlo como: \begin{equation} \begin{aligned} \langle x | e^{-\partial^2/M^2} | x \rangle & = \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; \langle x | e^{-\partial^2/M^2}|k \rangle \langle k | x \rangle \\& = \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2 \pi)^4} \; e^{k^2/M^2} \end{aligned} \end{equation} que parece dar el mismo resultado y es un método más sencillo. ¿Por qué la mayoría de las fuentes parecen utilizar el primer método en lugar del segundo?

Answer 1

No se pueden eliminar los paréntesis $|k \rangle\langle k|$ en el segundo método que has reprsentado porque hay $e^{\frac{k^{2}}{M^{2}}}$ término; hay que hacer una suma sobre todos los $k$ que es completamente equivalente al primer método (nótese también que $|k\rangle $ no coincide con la variable de integración $k$ )