Es la siguiente verdad: Si dos complejos de la cadena de libre abelian grupos han isomorfo homología de los módulos, a continuación, son de la cadena de homotopy equivalente.
Respuestas
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Sí, esto es cierto. Supongamos $C_*$ es una cadena compleja de libre abelian grupos.
Para cada una de las $n$, elija una división del mapa de los límites de $C_n \to B_{n-1}$, por lo que el $C_n \cong Z_n \oplus B_{n-1}$. (Usted puede hacer esto porque $B_{n-1}$, como un subgrupo de un grupo libre, es gratuito). Para todos los $n$, entonces tienes una sub-cadena compleja $\cdots \to 0 \to B_n \to Z_n \to 0 \to \cdots$ se concentró en grados $n$$n+1$, e $C_*$ es la suma directa de estos complejos de la cadena.
Dados dos complejos de la cadena de $C_*$$D_*$, se obtiene una suma directa de descomposición de cada uno, y por lo que es suficiente para mostrar que cualquiera de los dos complejos de $\cdots \to 0 \to R_i \to F_i \to 0 \to \cdots$, concentrado en grados $n$$n+1$, que son las resoluciones de la misma módulo de $M$ son de la cadena de homotopy equivalente; pero esto es alguna variante del teorema fundamental del álgebra homológica.
Este es especial para abelian grupos y es falso para los módulos a través de un general anillo.
Buggabill
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Sí, esto es cierto, y no importa si los complejos están delimitadas desde cualquier lado (ni por supuesto, tampoco importa si la homología es finitely generado). Esto es así porque:
- El homotopy categoría de libre abelian grupos es equivalente a la derivada de la categoría de abelian grupos. Esto vale incluso para unbounded complejos, desde la categoría de abelian grupos tiene un número finito de homológica dimensión.
- Cualquier complejo de abelian grupos es cuasi-isomorfo a su homología, desde la categoría de abelian de los grupos ha homológica de la dimensión 1.
Herms
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El natural functor $K^b(\mathbb Z\mathrm{-free})\to D^b(\mathbb Z)$ desde el homotopy categoría de limitada complejos de finitely libres generados por el abelian grupos a la derivada de la categoría de limitada complejos de finitely generado abelian grupos es una equivalencia. Esto significa que un mapa de limitada complejos de finitely libres generados por el abelian grupos que induce un isomorfismo en la homología es una homotopy de equivalencia.
Esto y el hecho de que uno siempre puede levantar un morfismos $f:H_\bullet(X)\to H_\bullet(Y)$ entre las homologías de dos complejos de libre abelian grupos a una de morfismos $\tilde f:X\to Y$ de los complejos que induce $f$ dar una respuesta afirmativa a su pregunta.
