Como @julien señala que la función de $\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ no está definida en una vecindad del origen, por lo que el límite no existe. Pero no es una extensión natural de la función que está definida en una vecindad del origen, y para los que el límite existe y es igual a 1. (Hay un montón de extensiones, pero este parece más natural para mí.) Definir $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\sin(x+y)}{x+y} & x+y\neq0; \\
1 & x+y=0.\end{array}\right.$$
A continuación,$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1$. Una $\epsilon-\delta$ prueba se basa en la variable de resultado $$\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.$$
Es decir, dada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $$0<|u|<\delta \Rightarrow \left|\frac{\sin u}{u}-1\right|<\epsilon.$$
Es útil darse cuenta de que esto puede ser reformulada de la siguiente manera: dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $$0<|u|<2\delta \Rightarrow \left|\frac{\sin u}{u}-1\right|<\epsilon. \qquad (*)$$
Queremos demostrar que dado $\epsilon>0$, existe una positiva $\delta$ tal que $$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-1|<\epsilon.$$
Así que vamos a $\epsilon>0$. Elija $\delta$, de modo que $(*)$ es verdad, y deje $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$. Entonces $$|x+y|\leq|x|+|y|\leq\sqrt{|x|^2+|y|^2}+\sqrt{|x|^2+|y|^2}=2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta.$$ Then by (*) (for $x+y\neq0$) and by the definition of $f$ (for $x+y=0$), we have $|f(x,y)-1|<\epsilon$ como se requiere.
El mismo argumento funciona si la función se define como:$g:\mathbb{R}^2\setminus\{(x,y):x+y=0\}\to\mathbb{R}$$g(x,y)=\frac{\sin(x+y)}{x+y}$. Con una ligera modificación, el mismo resultado también es válido para $$f(x,y)=\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\sin(x+y)}{x+y} & x+y\neq0; \\
h(x) & x+y=0,\end{array}\right.$$
donde $h$ es cualquier función definida en una vecindad de a $x=0$ ha $\lim_{x\to0}h(x)=1$.
