A la izquierda y a la derecha de los ideales de la $R=\left\{\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\0&c \end{smallmatrix}\bigr) : a\in\mathbb Z, \ b,c\in\mathbb Q\right\}$

Question

Si $$R=\left\{ \begin{pmatrix} a &b\\ 0 & c \end{pmatrix} \ : \ a \in \mathbb{Z}, \ b,c \in \mathbb{Q}\right\} $$ en virtud de lo habitual la adición y la multiplicación, entonces, ¿qué es la izquierda y la derecha de los ideales de la $R$?

Answer 1

Esto es cubierto en su totalidad en la página 17 de Lam Primer curso en no conmutativa anillos. En general, el "triangular anillo" donde $R$ $S$ son anillos y $M$ $R-S$ bimodule parece:

$$T= \begin{pmatrix} R &M\\ 0 & S \end{pmatrix} $$

También puede visualizar el anillo como $R\oplus M\oplus S$ divertidos de la multiplicación, pero no hay que confundir esto con el ordinario directa sumas. Lam explica:

1) El derecho ideales son todos de la forma $J_1\oplus J_2$ donde $J_1$ es un derecho ideal de $R$ $J_2$ es un derecho $S$ submódulo de $M\oplus S$ que contiene $J_1M$.

2) de forma análoga a la izquierda ideales son todos de la forma $I_1\oplus I_2$ donde $I_2$ es una izquierda ideal de $S$, e $I_1$ es una izquierda $R$ submódulo de $R\oplus M$ que contiene $MI_2$.

3) Los ideales de $T$ parecerse a $K_1\oplus K_0\oplus K_2$ donde $K_1$ es un ideal de $R$, $K_2$ es un ideal de a $S$, e $K_0$ es un subbimodule de $M$ contiene $K_1M+MK_2$.

Como un bono, creo que yo lo recuerde más tarde en algún lugar también muestra que el radical de este anillo es:

$$ rad(T)= \begin{pmatrix} rad(R) &M\\ 0 & rad(S) \end{pmatrix} $$

Answer 2

Esta es una respuesta parcial que es demasiado largo para un comentario. No estoy seguro acerca de todos los ideales, pero tiene al menos dos grandes familias de los ideales de la izquierda.

Dado $q \in \mathbb{N}$, definir: $$I_q = \bigg\{ \left(\begin{matrix} 0 & a/q \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)~:~ a \in \mathbb{Z}\bigg\}.$$ Esta es una izquierda ideal, como se puede comprobar fácilmente. Por otra parte, usted tiene $I_r \subseteq I_q$ si y sólo si $r$ divide $q$. Entonces no es la unión de todos estos, que es la ideal $$I_{\mathbb{Q}} = \bigg\{ \left(\begin{matrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)~:~ x \in \mathbb{Q}\bigg\}.$$ Por otra parte, dado cualquier $n \in \mathbb{N}$, consideran (no soy buena con la notación, como se puede ver): $$I^{(n)} = \bigg\{ \left(\begin{matrix} na & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)~:~ a \in \mathbb{Z}\bigg\}.$$ Esta es otra de la familia de los ideales de la izquierda, satifying $I^{(n)} \subseteq I^{(m)}$ si y sólo si $m$ divide $n$. De nuevo, la unión $$I^{(1)} \equiv I^{(\mathbb{N})} = \bigg\{ \left(\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)~:~ a \in \mathbb{Z}\bigg\}$$ es una izquierda ideal. También puede considerar la posibilidad de combinaciones de estos a la izquierda ideales para generar otras. Para cualquier par $(n, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, se obtiene la izquierda ideal $$I_q^{(n)} = \bigg\{ \left(\begin{matrix} na & b/q \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)~:~ a,b \in \mathbb{Z}\bigg\}.$$ Quizás esos son los únicos, pero no estoy seguro. Espero que esto ayude.