Puede $\omega_1$ (el primer ordinal incontable) se represente como la unión de una colección incontable de subconjuntos cofinales, disjuntos por pares?
Respuestas
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Para un ejemplo explícito de una partición incontable de $\omega_1$ en conjuntos cofinales, para cada $\alpha<\omega_1$ dejar $A_\alpha = \{ \beta<\omega_1\mid \exists \gamma<\omega_1,\thinspace \beta=\gamma +\omega^\alpha\}$ . Es decir, la partición $\omega_1$ mirando el último sumando en la forma normal de Cantor de cada elemento de $\omega_1$ .
Reto Meier
Puntos
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Asumiendo el axioma de la elección, la respuesta es sí. Bajo AC existe una biyección desde $\omega_1$ a $\omega_1 \times \omega_1$ , por lo que podemos dividir $\omega_1$ en una colección incontable de conjuntos incontables. Cualquier subconjunto incontable de $\omega_1$ es cofinal.
Edición: Como señala Andrés Caicedo en su comentario (¡gracias!), la CA no es necesaria.
