Operador normal $f \in L(V,V)$ adjunto como un polinomio en $f, f^*=p(f)$.

Question

Me estoy preparando para un examen de Álgebra Lineal, nivel de posgrado.

Si $V$ es un espacio vectorial complejo "unitaire" (término en francés, pero no puedo encontrar este término en ningún lado excepto en mis apuntes de clase, creo que es "hermitien", lo que significa un espacio vectorial con un producto escalar, es decir, un espacio prehilbertiano complejo), y $f$ un endomorfismo normal de $V$, necesito demostrar que existe un polinomio $P\in\Bbb C[X]$ tal que $f^*=P(f)$.

Creo que está relacionado con que $f$ sea diagonalizable, porque he encontrado un $P$ para $f$ y $g$ endomorfismos diagonalizables que conmutan. El sitio de Wikipedia para operadores normales (versión en francés) dice que un endomorfismo normal en un espacio prehilbertiano complejo es diagonalizable en una base ortonormal, pero no tengo nada en mis apuntes de clase que mencione eso, una proposición que tengo requiere que $P_f$ (polinomio característico) sea factorizable. ¿Hay alguna propiedad de los endomorfismos normales en un espacio prehilbertiano que me esté perdiendo? Gracias de antemano.

Answer 1

Supondré que $V$ tiene dimensión finita.

Dado que $f$ es normal, es diagonalizable.

Así que existe una base ortonormal donde $f=diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.

Por interpolación de Lagrange (por ejemplo), puedes encontrar un polinomio $P$ tal que $P(\lambda_j)=\bar{\lambda_j}$ para $j=1,\ldots,n$.

Entonces $P(f)=f^*$.