¿Tener formas cerradas de dos funciones generadoras garantiza que se pueda encontrar la forma cerrada de su producto término a término?

Question

Quiero encontrar la forma cerrada de $$ G_n(k) = \sum_{k=0}^n k! \bigg\lbrace {n \atop k}\bigg\rbrace x^k $$

Supongamos que la forma cerrada de $$ E_n(k) = \sum_{k=0}^n k!\, x^k $$ es conocido; llámalo $ A_n(k)$ . Y supongamos también que la forma cerrada de $$ F_n(k) = \sum_{k=0}^n \bigg\lbrace {n \atop k}\bigg\rbrace x^k $$ es conocido; llámalo $B_n(k) $ .

Utilizando estas funciones generadoras y sus formas cerradas, ¿puedo adquirir una forma cerrada para $G_n(k)$ ? Sé que no puedo simplemente multiplicar las dos funciones debido a las potencias de $x$ pero no creo que una convolución típica dé un resultado agradable.

Answer 1

Su serie anterior puede reescribirse como una serie de potencias (infinitas)

\begin{align*} e_{n}(x) & = \sum_{k=0}^\infty k! \mathbf{1}_{k \leq n} x^k \\ f_n(x) & = \sum_{k=0}^\infty \bigg\lbrace {n \atop k}\bigg\rbrace \mathbf{1}_{k \leq n} x^k \\ g_n(x) & = \sum_{k=0}^\infty k! \bigg\lbrace {n \atop k}\bigg\rbrace \mathbf{1}_{k \leq n} x^k \\ & = \sum_{k=0}^\infty\bigg(k!\, \mathbf{1}_{k \leq n}\bigg)\bigg( \bigg\lbrace {n \atop k}\bigg\rbrace \mathbf{1}_{k \leq n} \bigg)x^k \end{align*}

donde reconocemos la última línea como el Producto de Hadamard de la serie de potencias $e_n, \, f_n$ (es decir, el producto del término).

Según la página de Wikipedia anterior, si se conocen formas cerradas para $e_n, f_n$ (de forma equivalente $E_n, \, F_n$ ) entonces

$$ G_n(x) = g_n(x) =\frac1{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e_n\big(\sqrt{z} e^{zt}\big) \, f_n\big(\sqrt{z} e^{-zt}\big) dt$$