Cómo tomar la derivada de una potencia.

Question

Así que estoy tratando de resolver este problema: Tomar la derivada de $2^{t^{3}}$

Este es el texto pertinente de mi libro de texto que tiene sentido para mí.

El truco parece convertir cualquier cosa en forma de $b^x$ a $e^{x\cdot lnb }$ porque $b = e^{lnb}.$

Entonces, creo que la derivada es (mediante la regla de la cadena y esta regla de arriba):

$$2^{t^{3}} \cdot \ln{2} \cdot \frac{d}{dt} (t^3)$$ $$=2^{t^{3}} \cdot \ln{2} \cdot 3t^2.$$

¿Es eso cierto?

Answer 1

Tal vez esta sea una forma de ver esto:

$$y = 2^{t^3}$$ $$\ln(y) = t^3 \ln(2)$$

Tomando la derivada con respecto a $t$ en ambos lados conduce a $$\frac{y’}{y} = 3t^2 \ln(2)$$ y así

$$y’ = 3yt^2 \ln(2) = 3 \ln(2) t^2 \cdot 2^{t^3}$$ por lo que su respuesta es correcta.

Para encontrar esta derivada, me basé en la regla de la cadena después de tomar el logaritmo a ambos lados y por lo tanto esto es una aplicación de la regla de la cadena. En algunos lugares he visto que se denomina "regla del logaritmo".

Answer 2

Enfoque formulista a través de la sustitución $u=t^3$ :

$$\begin{align} {d \over dt}\left(2^{t^3}\right) &= {d \over dt}\left( 2^u \right) \\ &= 2^u\ln(2){du \over dt} \\ &= \ln(2)2^{\left(t^3\right)}\left(3t^2\right) \end{align}$$

Answer 3

Consideremos el caso general de $$ x = 2^{t^3} = {\rm e}^{t^3 \ln(2)} $$

Entonces, a partir de la regla de la cadena se tiene

$$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \exp( t^3 \ln(2) ) = \exp( t^3 \ln(2) ) \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (t^3 \ln(2)) = \exp( t^3 \ln(2) ) (3 t^2 \ln(2)) = a^{t^3} 3 t^2 \ln(2) $$