Evaluar $\int_0^\infty\frac{\sin(\varphi_1x)}x\frac{\sin\varphi_2x}x\cdots\frac{\sin\varphi_nx}x\frac{\sin(ax)}x\cos(a_1x)\cdots\cos(a_mx) \, dx$

Question

Cómo evaluar

$$ \int_0^\infty \frac{\sin(\varphi_1x)}{x}\frac{\sin\varphi_2x}{x} \cdots \frac{\sin\varphi_nx}{x} \frac{\sen(ax)}{x}\cos(a_1x) \cdots \cos(a_mx) \, dx \text{ ?} $$

Para las pequeñas $n$ $m$ es muy sencillo (ajuste $\sin(kx)=\dfrac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$ y el uso de Jordania lema, pero para arbitrario $n$ el cálculo es demasiado tedioso. Seguramente debe haber algún buen truco aquí?
Gracias

Answer 1

Vamos a suponer que los parámetros $\phi_1,\ldots,\phi_n$, $a_1,\ldots, a_m$ satisfacer la condición dada en la página 122 de Whittaker y Waston clásico de "Un Curso de Análisis Moderno".

$\phi_1,\ldots,\phi_n$, $a_1, \ldots, a_m$ son reales, $a$ es positivo y $a > \sum_{p=1}^m |\phi_p| + \sum_{q=1}^m | a_q|$

Bajo esta condición, la integral en la mano evalúa a $\frac{\pi}{2}\prod_{p=1}^n \phi_p$.

Nosotros, además, asumir todos los $\phi_p \ne 0$. De lo contrario, la integral trivialmente evalúa a cero.

Al $\phi_p \ne 0$, la singularidad de $\frac{\sin(\phi_p x)}{x}$ $x = 0$ es extraíble, si definimos el valor de $\frac{\sin(\phi_p x)}{x}$$x = 0$$\phi_p$, vamos a convertir esto en una función completa.

Deje $f(x)$ ser el producto de $\prod\limits_{p=1}^n\frac{\sin(\phi_p x)}{x}\prod\limits_{q=1}^m \cos(a_q x)$. Con la interpretación anterior en mente, esta es una de la función en $x$. Para un gran $z \in \mathbb{C}$, podemos obligado el crecimiento de $f(z)$ $$|f(z)| = O( e^{K|\Im z|} )\quad\text{ where }\quad K = \sum_{p=1}^n|\phi_p| + \sum_{q=1}^m|a_m|\tag{*1}$$

Aviso de $\frac{\sin(a x)}{x}$ es finito en $x = 0$ $f(x)$ es una función par en $x$. Nuestros integral es igual a

$$\int_0^\infty f(x)\frac{\sin x}{x} dx = \lim_{\substack{R\to\infty\\ \epsilon\to 0}} \int_{\epsilon}^R f(x)\frac{\sin( x)}{x} dx = \frac12 \lim_{\substack{R\to\infty\\ \epsilon\to 0}} \left( \int_{-R}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^R\right) f(x)\frac{\sin(x)}{x} dx \\= \frac{1}{2} \lim_{\substack{R\to\infty\\ \epsilon\to 0}} \left( \int_{-R}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^R\right) f(x)\frac{e^{iax}}{x} dx $$ Para evaluar esta integral, que tenga en cuenta las siguientes contorno $C$ consta de 4 segmentos:

• un segmento de línea de $-R$$-\epsilon$.
• $C_\epsilon$ un segmento circular $\epsilon e^{i\theta}$$\theta$$\pi$$0$.
• un segmento de línea de $\epsilon$$R$.
• $C_R$ un segmento circular $R e^{i\phi}$$\phi$$0$$\pi$.

Desde $C$ no contiene ninguna singularidad en el integrando, tenemos

$$\oint_C f(x)\frac{e^{iax}}{x} dx = 0 \implica \left( \int_{-R}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^R\right) f(x)\frac{e^{iax}}{x} dx = -\left( \int_{C_R} + \int_{C_\epsilon}\right) f(x)\frac{e^{iax}}{x} dx $$ Bajo el supuesto de $a > K = \sum_{p=1}^n|\phi_p| + \sum_{q=1}^m |a_q|$, el enlazado $(*1)$ nos dicen $$\lim_{R\to\infty}\int_{C_R} f(x)\frac{e^{iax}}{x} dx = 0$$ Desde $f(x)$ es regular cerca de $x = 0$$\epsilon \to 0$, la integral sobre la $C_{\epsilon}$ nos da $-\pi i = (-\frac12)(2\pi i)$ de los residuos de $f(x) \frac{e^{iax}}{x}$ a $x = 0$ ($-\pi i$ en lugar de $\pi i$ porque $\theta$ varía de $\pi$$0$). Como resultado, la integral en la mano es igual a

$$\frac{i}{2}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(x)\frac{e^{iax}}{x}dx = \frac{i}{2} (-\pi i) f(0) e^{i0} = \frac{\pi}{2}f(0) = \frac{\pi}{2} \prod_{p=1}^n \phi_p$$