¿Cuáles son todos los unramified extensiones de $\mathbb{Q}_p$?

Question

Sabemos que para cualquier $n$ relativamente primos a $p$, $\mathbb{Q}_p(\zeta_n)$ es un unramified extensión de más de $\mathbb{Q}$. Por otro lado, sabemos que finito unramified extensiones de un campo completo con respecto a una discreta valoración corresponde a lo finito extensiones de su residuo de campo. El residuo campo de $\mathbb{Q}_p$$\mathbb{F}_p$, y sabemos lo finito extensiones de $\mathbb{F}_p$$\mathbb{F}_{p^r} = \mathbb{F}_p(\zeta_{p^r-1})$, por lo que el finito unramified extensiones de $\mathbb{Q}_p$ debe $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^r-1})$.

Es cierto que para cualquier $n$ tal que $(n,p) = 1$, hay un $r$ tal que $\mathbb{Q}_p(\zeta_n) = \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^r-1})$?

Answer 1

Sí, es cierto. Deje que el residuo campo de la unramified extensión del ser $\Bbb F_{p^r}=\Bbb F_p(\zeta_{p^r-1})$. La primitiva $(p^r-1)$-ésima raíz de la unidad en el residuo de campo puede ser levantado a la característica de cero - hay cualquier número de maneras de ver esto, como Hensel, o el truco de elevación $\zeta_{p^r-1}\in\Bbb F_{p^r}$ cualquier $z$ en su unramified campo y, a continuación, repetir la extracción $p^r$-th poderes. La secuencia que se obtiene es $p$-adically convergente.

Answer 2

La prueba es correcta. Permítanme exponer por qué deberíamos esperar tal cosa.

El campo de los números complejos $\mathbb C$ es el único finito extensión de $\mathbb R$ y que $$ \mathbb R(i) = \mathbb R(\zeta_4) = \mathbb C. $$

Las raíces de la unidad no son reales, excepto para $\pm 1$. Por lo tanto $$ \mathbb R(\zeta_n) = \mathbb R(\zeta_4) =\mathbb C \qquad \text{si $n>2$} $$ y $$ \mathbb R(\zeta_n) = \mathbb R \qquad \text{si $n\leq2$} $$ ya que no hay más espacio entre los $\mathbb R$ y su algebraica de cierre.

Cosas similares suceden en $\mathbb Q_p$, tome $p=5$. Por Hensel del lema las raíces de la unidad no están en $\mathbb Q_5$ a excepción de $\pm 1, \pm i$. En particular $$ \mathbb Q_5(\zeta_n) = \mathbb Q_5 \quad \Longleftrightarrow\quad n\mid 4. $$ Ahora desde $\bar{\mathbb Q}_5/\mathbb Q_5$ es una extensión infinita que no hay más espacio para el intermedio extensiones pero aún diferentes raíces de la unidad podría definir la extensión de la misma. Por ejemplo, $\mathbb Q_5(\zeta_{5^2- 1})$ contiene $\mathbb Q_5(\zeta_8)$$\mathbb Q_5(\zeta_3)$. Se puede comprobar que $$ \mathbb Q_5(\zeta_{5^2- 1})=\mathbb Q_5(\zeta_8)=\mathbb Q_5(\zeta_3). $$