Límite en el infinito de la serie Maclaurin

Question

Dejemos que $f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ . ¿Qué es? $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ en términos de $a_i$ ?
Esa pregunta puede ser demasiado amplia, así que aquí hay algunas restricciones: Supongamos que f(x) es continua (y, por tanto, bien definida) en todas las $\mathbb{R}^+$ y el límite existe en los reales extendidos.
Por ejemplo, si me dieran la secuencia $$\{a_i\}_{i=0}^\infty = \{1,-1,1/2,-1/6,1/24,\cdots, (-1)^i / i!, \cdots \}$$ no tendría ni idea de cuál es su límite en el infinito, pero tan pronto como supiera que es $e^{-x}$ , tomar el límite sería fácil ( $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x} = 0$ ). Lo mismo ocurre con $e^x$ .

Se agradece cualquier ayuda.
Gracias

editar: Para simplificar la pregunta, me conformaría con determinar si el límite es finito o infinito.

Answer 1

Podemos escribir:

$$\lim_{x\to\infty}f(x) = f(0) + \int_0^{\infty}f'(x)dx\tag{1}$$

Podemos expresar la integral en términos de los coeficientes de expansión de la serie continua analítica utilizando Teorema maestro de Ramanujan . Una derivación heurística puede darse como sigue. Una expansión en serie de una función $g(x)$ :

$$g(x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{c_k}{k!} x^k$$

puede escribirse formalmente como

$$g(x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^k}{k!} E^{k}c_0 = \exp\left(-E x\right)c_0$$

donde el operador $E$ actúa sobre los coeficientes de la siguiente manera:

$$E c_{k} = c_{k+1}$$

Esta expresión nos permite expresar formalmente integrales de funciones en términos de sus coeficientes de expansión en serie. Por ejemplo, tenemos

$$\int_{0}^{\infty}x^sg(x)dx = \int_{0}^{\infty}x^s\exp\left(-E x\right)c_0dx = s! E^{-(s+1)}c_{0} = s! c_{-s-1}$$

La integral sobre la H.R. de (1) es pues $c_{-1}$ , donde $c_k$ es el coeficiente de $(-1)^k\frac{x^k}{k!}$ de $f'(x)$ , esto viene dado por $-f(0)$ . El límite en (1) es por tanto igual a cero.

Esto parece un resultado sin sentido, porque cómo puede ser el límite siempre cero, como también señala Masacroso en los comentarios. Pero hay que tener en cuenta que se trata de un resultado puramente formal. Un límite de una función analítica al infinito en el plano complejo siempre se puede tomar de forma que dé cero, debido a la singularidad esencial en el infinito, por lo que no hay ningún problema real aquí. Esto significa que la integral en (1) debe tomarse en general a lo largo de un contorno adecuado hasta el infinito.