Deje $R$ ser un anillo con $1$ $M$ no un cero a la izquierda $R$-modulesuch que $M\cong M\oplus M$
Por qué $M$ no es ni Noetherian ni Artinian?
Gracias
Respuesta
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Para Noetherian módulos, cada surjective endomorfismo es bijective. Si queremos componer el isomorfismo $M \cong M \oplus M$ con la proyección de la primera coordenada, conseguimos que no inyectiva surjective endomorfismo. A ver que no es inyectiva, tomar $m \in M$ $m \neq 0$, a continuación, la preimagen de $(0,m)$ bajo el isomorfismo $M \cong M \oplus M$ no es cero, pero se asigna a cero en el mapa descrito anteriormente.
Doblemente, por Artinian módulos, cada inyectiva endomorfismo es bijective. Así que si queremos componer la inclusión en la primera coordenada $M \to M \oplus \{0\} \subset M \oplus M$ con el isomorfismo $M \oplus M \cong M$, obtenemos un no-surjective inyectiva endomorfismo. A ver que no es surjective, tenga en cuenta que la composición con un isomorfismo no cambia surjectivity, por lo que no es surjective debido a la inclusión de $M \to M \oplus \{0\} \subset M \oplus M$ no es surjective.
