Demostrar que existen infintely muchos primos $p$ $p\equiv2$ o $-2 \pmod{5}$

Question

Quiero mostrar que existen infintely muchos primos $p$ $p\equiv2$ o $-2 \pmod{5}$.

Ya sé algunas pruebas de números primos con dado, pero no sé cómo se usa aquí. Además, no quiero utilizar el teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas.

Así que empecé a asumir que hay solamente un número finito de números primos con % o $p\equiv2$ $-2 \pmod{5}$, $p_1,...,p_n$. En muchas pruebas uno miraría en $N := 5\cdot p_1...p_n-2$ o ($+2$?).

Le agradeceria cualquier insinuación.

Answer 1

Es fácil de demostrar en una escuela primaria de la moda que hay infinitos primos de la forma $5k+1$, por ejemplo mediante el estudio de los factores primos de a $\Phi_5(n)$ y la construcción de una secuencia $\{\Phi_5(n_k)\}_{k\geq 1}$ de mutuo coprime enteros. La existencia de infinitos números primos de la forma $5k-1$ puede ser probado de una manera similar, mediante el estudio de los primos divisores de $\Psi(n)=5n^4-10n^2+1$. Ahora podemos utilizar un argumento similar a la descrita en la página 12 de mis notas. Ambos

$$ L(\chi_1,s)=\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{(5n+1)^s}-\frac{1}{(5n+2)^s}-\frac{1}{(5n+3)^s}+\frac{1}{(5n+4)^s}\right) $$

$$ L(\chi_2,s)=\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{(5n+1)^s}+\frac{i}{(5n+2)^s}-\frac{i}{(5n+3)^s}-\frac{1}{(5n+4)^s}\right) $$

son convergentes para cualquier $s$ tal que $\text{Re}(s)>0$ y tienen asociado un producto de Euler. Desde $L(\chi_1,1)=\frac{2}{\sqrt{5}}\log\varphi\neq 0$ tenemos infinidad de números primos de la forma $5k\pm 2$. Los números primos de la forma $5k+2$ (o $5k-2$) tiene que ser infinito, ya que el supuesto contrario estaría en contradicción con el acotamiento de la parte imaginaria de $L(\chi_2,1)=\frac{\pi\sqrt{4+2i}}{5^{5/4}}$.