Probar o refutar que cada función holomorfa preservar unboundedness es un polinomio.

Question

En términos generales como dice el titulo: probar o refutar que cada función holomorfa preservar unboundedness es un polinomio.

Que $f : \Bbb C \to \Bbb C$ sea una función holomorfa tal que para cada conjunto de ilimitada $ V \subset \Bbb C$ la imagen $f(V)$ también es ilimitada.

Probar o refutar que $f$ debe ser un polinomio.

Answer 1

Que $V={z; |f(z)|\leq 1}$. Como limita $f(V)$, $V$ debe ser delimitada, existen $R>0$ tal que $V\subset B(0,R)$. $z$ Tal que $|z|\geq R$, tenemos $|f(z)|>1$. Por lo tanto $f$ tiene un número finito de ceros. Escriba $f(z)=P(z)g(z)$, $P$ un polinomio, $g$ todo con no ceros. Entonces $\frac{1}{g(z)}=\frac{P(z)}{f(z)}$ es todo, delimitada por $|P(z)|$, si $|z|>R$, por lo tanto limitado por $c|z|^m$ % grande $|z|$. $1/g$ Es un polinomio, por lo tanto, una constante y hemos terminado.

Answer 2

Sugerencia En $z=\infty$ su función tiene una singularidad removible, esencial singularidad o un poste.

Si es extraíble, la función tiene un límite finito en $\infty$, pero esto se contradice con la condición dada.

Si es esencial, por Picard del Teorema, la función alcanza todos los valores, excepto una, infinidad de veces. Utilice esta información para crear un conjunto ilimitado que va a un valor.

De ello se desprende que $f$ debe tener un polo en el infinito. Utilice esto para demostrar que $f$ es polinomial.

Answer 3

Recordar :del teorema de Picard Poco Picard Teorema: Si una función f : C → C es entero y no constante, entonces el conjunto de valores que f(z) se supone es todo el plano complejo o el plano de menos de un punto único.

Gran Picard del Teorema: Si una analítica de la función f tiene una singularidad esencial en un punto de w, entonces en cualquier perforado barrio de w, f(z) toma sobre todos los posibles valores complejos, con una sola excepción, infinitamente a menudo.

Sin pérdida de generalidad, Hasta un cambio suponemos que $z=0$ no es un excepcional punto de $f$ de lo contrario, reemplace$f(z) $$g(z)= f(z)-a $. donde a, donde a es el elegido para ser no un valor excepcional de $f.$

Desde $f$ es entero (luego se $f$ analítica con radio de convergencia $R=\infty $) podemos escribir $$f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$$ nos vamos a
$$ h(z) = f\left(\frac{1}{z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n }{z^n}$$ the point $z=0$ is either a pole of finite oder to $h$ o una singularidad esencial.

Suponiendo, $h$ tiene una singularidad esencial , a continuación, por el gran teorema de Picard set $h^{-1}\{0\}$ es infinito en todos los barrios de $z=0$. Por tanto, para $n>$ existe $|z_n|\le \frac1n$ tal que $$h(z_n)=f\left(\frac{1}{z_n}\right)= 0$$

Por lo tanto el conjunto $$V=\left\{\frac{1}{z_n} : n\in \Bbb N\right\}$$ is unbounded but $f(V)= \{0\}$, que es contradictorio.

Por lo tanto, necesariamente, $z=0$ es polar finito oder de $h$ que hay es $N$ tal que $a_n=0$ $n\ge N+1$ ya que en este caso $h$ sólo puede ser escrita como

$$h(z) = f\left(\frac{1}{z}\right)=a_0 +\frac{a_1 }{z}+\frac{a_2 }{z^2}+\cdots +\frac{a_N }{z^N}$$

lo que significa que $f$ ia de un polinomio y tenemos, $$f(z) = a_0 +a_1z +a_2 z^2+\cdots +a_N z^N $$

Gracias explicaciones de @N. S.

Answer 4

Casorati-Weierstrass da una prueba simple: queremos mostrar que si $f$ no es un polinomio, entonces $f$ mapas algún conjunto ilimitada a un conjunto acotado. Pero si $f$ no es un polinomio, entonces $f(1/z)$ tiene una singularidad esencial en $0.$ así por CW, $f(1/z)$ mapas cada ${0