¿Cómo entender la clase Todd?

Question

Estoy leyendo el artículo "K-Theory and Elliptic Operators"(http://arxiv.org/abs/math/0504555), que trata sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer. En la página 14 el artículo discute el isomorfismo Thom: $$\psi:H^{k}(X)\rightarrow H^{n+k}_{c}(E)$$ y $$\phi:K(X)\rightarrow K(E)$$ con $\psi: x \rightarrow \pi^{*}x* \lambda_{E}$ y $\phi:x \rightarrow \pi^{*}x\cup \mu$ . Greg definió además un factor de corrección $\mu(E)$ tal que $$\psi(\mu(E)\cup \operatorname{ch}(x))=\operatorname{ch}(\phi(x))$$ Analizó $\mu(E)$ por el principio de división y dar la expresión $$\mu(E)\cup e(E_{\mathbb{R}})=\operatorname{ch}\left(\sum^{n}_{i=0}(-1)^{i}\wedge^{i}(E)\right)=\operatorname{ch}\left(\prod^{n}_{i=1}(1-L_{i})\right)=\prod^{n}_{i=1}(1-e^{x_{i}})$$

Argumentó que, puesto que $e(E_{\mathbb{R}})=c_{n}E=\prod x_{i}$ podemos concluir $$\mu(E)=\prod^{n}_{i=1} \frac{1-e^{x_{i}}}{x_{i}}$$ A continuación, define la clase Todd $$\operatorname{td}(E)=\prod^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}$$ tal que tenemos $$\mu(E)=(-1)^{n}\operatorname{td}(\overline{E})^{-1}$$

Mis preguntas son:

1. ¿Es el paso de $\mu(E)\cup e(E_{\mathbb{R}})$ a $\mu(E)$ ¿justificado? Tengo dudas al respecto ya que sólo lo he visto en alguna parte del apéndice de Milnor & Stasheff, no sé si se trata del producto de tapón o de alguna otra operación. Normalmente producto de copa hecho $H^{*}_{c}(E)$ ser un anillo en lugar de un campo. Creo que necesito aclarar detalles aquí.

2. Por qué definimos la clase Todd en función de la relación $$\operatorname{td}(E)=\prod^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}$$ en lugar de utilizar simplemente el resultado para $\mu(E)$ ? ¿Hay alguna motivación más profunda para ello? Por otra parte, ¿por qué no podemos simplemente definir $\mu(E)$ mediante la relación $\mu(E)\cup \psi(\operatorname{ch}(x))=\operatorname{ch}(\phi(x))$ ? No estoy seguro de cuál será el cálculo de esto, pero creo que debería ser más fácil que el cálculo en la definición anterior.

He echado un vistazo al artículo de la wikipedia y he descubierto que las dos definiciones coinciden en gran medida. Creo que quizás con el tiempo pueda entender mejor la clase Todd. No se menciona en el libro Clases características (al menos la parte que cubrí) así que siento que no lo entiendo realmente (espero poder entenderlo lo suficiente como para entender el teorema del índice de Atiyah-Singer).

Answer 1

(Re: 2)

AFAIK, la clase Todd es ligeramente más conveniente (que $\mu$ ) en varias formas del teorema de (Grothendieck-Hirzebruch-)Riemann-Roch. Por ejemplo, si $f\colon X\to Y$ es un mapa de variedades (compactas establemente casi complejas), el diagrama

$$\begin{array}{ccc} K(X) & \stackrel{ch}{\longrightarrow} & H(X;\mathbb Q)\\ \downarrow{f_*} && \downarrow{f_*}\\ K(Y) & \stackrel{ch}{\longrightarrow} & H(Y;\mathbb Q) \end{array}$$

es no conmutativa, pero el diagrama

$$\begin{array}{ccc} K(X) & \stackrel{td(X)\cdot ch}{\longrightarrow} & H(X;\mathbb Q)\\ \downarrow{f_*} && \downarrow{f_*}\\ K(Y) & \stackrel{td(Y)\cdot ch}{\longrightarrow} & H(Y;\mathbb Q) \end{array}$$

es.

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Por cierto, también explica el papel que desempeña la clase Todd en el teorema del índice de Atiyah-Singer: $\int_M ch([\sigma(D)])\cdot td(M)$ del RHS no es otra cosa que $\int_M[\sigma(D)]$ (donde $\int_M$ es la imagen directa bajo la proyección $M\to pt$ en cohomología/teoría K), por lo que Atiyah-Singer se reduce simplemente a $\operatorname{ind} D=\int_M[\sigma(D)]$ (por supuesto, cuando uno intenta realmente aplicar A-S, la forma tradicional es más conveniente).

Answer 2

Sólo deseo responder que aquí se puede encontrar una buena fuente al respecto:

https://mathoverflow.net/questions/60478/hirzebruchs-motivation-of-the-todd-class/60481#60481

muy ashramed que no encontró esto antes.