Un límite existe iff y sólo el límite izquierdo y el límite de derecho existen y son iguales entre sí

Question

Es bien conocido que

$$\lim_{x \a} f(x) = L \ffi \lim_{x \to a+}f(x) = L = \lim_{x \to a-}f(x)$$

Considere la función $\sqrt{.}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$

Ahora, considere la posibilidad de $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$

Podemos probar este límite es igual a $0$. De hecho, vamos a $\epsilon > 0$. Elija $\delta = \epsilon^2$. Entonces, para $x \in \mathbb{R}^+$ satysfying $0 < |x| < \delta$ o, equivalentemente,$0 < x < \delta$,$\sqrt{x} < \sqrt{\delta} = \epsilon$, que establece el resultado.

Sin embargo, mi confusión radica en lo siguiente: el límite de la izquierda parece que no existe, haciendo que el teorema anterior falsa. En donde radica mi error?

Answer 1

En realidad, lo que escribiste no es conocida y de hecho no es incluso cierto.

Qué es bien conocido es el hecho de que

Que $f$ sea una función $\color{red}{\text{defined on some open neighborhood of $ un $}}$. Entonces, $$ \lim{x \to a} f (x) = L \iff \lim{x \to a+}f(x) = L = \lim_{x \to a-}f(x)$ $

Siempre lea la letra pequeña.

Answer 2

Usted debe tener cuidado al aplicar la definición de $\varepsilon-\delta $ dice. Que $a$ ser una acumulación (o punto límite) de $Dom(f)$ entonces es continua en $f$ $a$ si

$$\forall~~\varepsilon>0, \exists~\delta>0:\color{blue}{\text{for every $x\in Dom(f), $ } 0

en tu caso no es del dominio de $x

Y entonces la noción de límite por la izquierda en $x=0$ no se aplica aquí,

Answer 3

De hecho el límite existe en $x_0$ si y sólo si para todos los $x$ en el dominio de la función tenemos $$\forall \epsilon>0\qquad,\qquad \exists \delta\qquad |x-x_0|0\qquad,\qquad \exists \delta\qquad d(x,x_0)