¿Qué formas de distribución producción la "expectativa Pythagorean"?

Question

Deje $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$ ser independiente continuo de variables aleatorias generadas a partir de la misma sin especificar la distribución de la forma, pero con el subsidio para diferentes valores de los parámetros. Estoy interesado en encontrar una distribución paramétrica formulario para que el siguiente muestreo de probabilidad tiene para todos los admisible de los valores de los parámetros:

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Mi pregunta: ¿alguien Puede decirme continua de la distribución de la forma para que este se mantiene? ¿Hay alguna (no trivial) de las condiciones generales que conducen a esto?

Mis reflexiones preliminares: Si se multiplican ambos parámetros no-cero constante, entonces la probabilidad se mantiene sin cambios, así que tiene sentido para $\theta$ a de ser algún tipo de parámetro de escala.

Answer 1

Si tenemos dos variables aleatorias Exponenciales$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ we get that$$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$y $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$Now, if$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$then$$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Una pregunta más interesante es la de si este es o no es el único caso posible de distribución para la que trabaja. (Por ejemplo, este es el único elemento de la Gamma de la familia para la que trabaja.) Asumiendo una escala en la estructura familiar, es la necesaria y suficiente sobre las causas de la densidad de $f$ $X$ $Y$ es que $$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

Pero el genérico respuesta es no: como se señaló en la respuesta por @soakley, esto también funciona para Weibulls que no es una sorpresa ya que$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$for all $\alfa>0$ (and Weibulls are powers of exponentials). A more general class of examples is thus provided by$$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$for all strictly increasing functions $\phi$, where $X,Y$ are exponentials as above, since then we have $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

Answer 2

Si $X$ % de Weibull $\left( \alpha,\beta_1 \right)$y $Y$ es un % de Weibull independiente $\left( \alpha, \beta_2 \right) $, donde alfa es el parámetro de forma y las betas son parámetros de escala, entonces se conoce ese % $ $$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha} $

Esto puede obtenerse siguiendo el mismo método en respuesta de Xian.

Ahora que tanto $\alpha=2$ $X$ y $Y$. Si $X$ % del parámetro de escala $\theta_X$y $Y$ % del parámetro de escala $\theta_Y,$tenemos $$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2} $ $