¿Por qué algunos integrales no elementales definidos y otros no lo son?

Question

¿Por qué algunas integrales que no pueden integrarse en términos elementales definidos y los nombres, mientras que otros no? ¿En base a qué criterios son elegidos? ¿Aplicabilidad a la vida real? Y ¿de qué sirve si no podemos resolverlos?

Por ejemplo:

$$\int\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\text{Si}(x), \quad -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt=\text{Ei}(x), \quad \int \cos\left(x^2\right)\,dx = \sqrt{\frac\pi2} \text{C}\left( \sqrt{\frac2\pi}x\right)$ $ mientras que otros como %#% $ #% no estaban definidas.

Answer 1

Podemos definir ahora. Por la presente declaro que $$ \mathrm{Xi}(x) := \int_0^xt^tdt $$ Ahora, lo único que queda es ver si otros matemáticos recogerlo y empezar a usarlo.

Como con cualquier otra notación matemática, en realidad no hay un comité en algún lugar que se sienta y pesa criterios para decidir lo que la notación matemática es correcta y debe ser aceptado. Lo que decide si una pieza de la notación, sea aceptado y convencional es simplemente si lo suficiente como otros matemáticos resulta útil y empezar a usarlo.

Answer 2

Y ¿cuál es el punto si no podemos resolver?

Eso es en realidad una gran parte de la motivación para dar cierto integral de un nombre. Una integral que se pueden resolver exactamente en realidad no necesita un nombre – usted puede seguir adelante, resolver ahora mismo y así evitar tener que escribir la integral más. O bien, seguir escribiendo en pie de la letra, y nadie puede calcular los resultados más tarde.

OTOH, integral, de cuyo resultado no se puede escribir en forma elemental puede ser un dolor en la espalda, si usted tiene que mantener llevar alrededor. Usted todavía puede ser capaz de obtener resultados numéricos, obtener el diferencial de relaciones, etc., pero todo eso es un trabajo tedioso que va a ser necesario hacer una y otra vez por todo el mundo que se encuentra el integral.

Mucho mejor es si te das cuenta "ah, que es la Integral del Seno", entonces usted puede invocar algunas de las fórmulas estándar / implementaciones / mesas para buscar valores.

Answer 3

"No se puede resolver ellos" podría no ser el correcto punto de vista. Ejemplo: considere la posibilidad de $$\tag1 \text{fer}(x)=\frac2{\sqrt\pi}\,\int_{0}^xe^{-t^2}\,dt. $$ Esta es la función de error, el prototipo de una función que no puede ser expresado en términos de funciones elementales. Ahora, si usted tenía una fórmula, es probable que implican la exponencial; y en cualquier momento que desee para obtener los números de la exponencial, usted necesita usar su serie de Taylor. Así, las aproximaciones de la serie $$\tag2 \text{fer}\,(x)=\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!(2n+1)} $$ en realidad son el mosta forma directa de calcular (y bastante eficiente para $x$ no demasiado grandes).

Lo que es más importante, el hecho de que una función tiene un nombre, realmente no se que sea "más fácil": compare $(2)$ con $$\tag3 \sen x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}. $$ ¿Cree que el tener $\sin x$ en una fórmula es mucho mejor que tener $\text{erf}\,(x)$?