¿Cuáles son las aplicaciones del cálculo finito?

Question

Estoy leyendo Matemáticas concretas [Graham, Knuth, Patashnik; 2ª edición], y en la sección relativa a la Suma, tienen una subsección titulada "Cálculo Finito e Infinito". En esta sección introducen al lector el concepto de cálculo finito, el análogo discreto del cálculo infinito tradicional.

A lo largo del texto, utilizan las siguientes notaciones para su uso en cálculo finito (no estoy seguro de si se trata de la notación estándar, por lo que agradecería cualquier aclaración):

$$\Delta f(x)\equiv f(x+1)-f(x)$$

Que se describe como el "análogo finito de la derivada en el que nos restringimos a valores enteros positivos de h" .

Junto con la siguiente notación como análogo para la antiderivada, y la integral definida:

$$g(x)=\Delta f(x) \iff \sum{g(x) \:\delta x}=f(x)+C\\\sum_{a}^{b}{\Delta f(x)\:\delta x}=\left.f(x)\right|_{a}^{b}=f(b)-f(a)$$

A continuación, introduce varias identidades relacionadas con estos interesantes operadores, pero nunca describe ninguna aplicación para ellos, aparte de satisfacer la curiosidad matemática de uno, y para acortar algunas pruebas más adelante en el libro (aunque incluso éstas parecen ser aplicaciones algo artificiosas).

Así que mi pregunta es la siguiente:

¿Qué aplicaciones tiene el cálculo finito en campos como las matemáticas, la informática, la física, etc.?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como en realidad no obtuve una respuesta satisfactoria (aunque gracias a usuario35071 por su enlace, y a los que habéis comentado), he decidido responder a mi propia pregunta lo mejor que pueda (si me he dejado algo importante, por favor, hacédmelo saber en los comentarios):

1. Cálculo de sumas en forma cerrada a partir de expresiones conocidas.
2. Aproximación del cálculo infinito (métodos de diferencia directa, soluciones numéricas de EDP y EDO, etc.)

Es frecuente que tratemos de expresar el sumatorio de alguna expresión $f(x)$ en forma cerrada, y esto puede ser complicado, utilizando técnicas estándar.

Por ejemplo, el cálculo de $\sum{x^{2}\:\delta x}$ puede hacerse utilizando dos fórmulas conocidas:

$$x^{n}=\sum_{k}{\left\{n \atop k\right\}x^{\underline{k}}} \text{ and } \sum{x^{\underline{m}}\:\delta x}=\frac{x^{\underline{m+1}}}{(m+1)}\tag{1}$$

Dónde $\left\{n\atop k\right\}$ se lee " $n$ subconjunto $k$ ", y es un Número de Stirling del segundo tipo . Y $x^{\underline{k}}=x(x-1)\cdots(x-k+1)$ es el función factorial decreciente (nótese que también se escribe Símbolo del martillo pilón : $(x)_{k}$ ).

Ampliar $x^{2}$ en términos de factoriales decrecientes, obtenemos:

$$x^{2}=x^{\underline{2}}+x^{\underline{1}}\implies\sum{x^{2}\:\delta x}=\sum{x^{\underline{2}}\:\delta x}+\sum{x^{\underline{1}}\:\delta x}$$

Utilizando nuestras fórmulas conocidas en $(1)$ , obtenemos:

$$\sum{x^{2}\:\delta x}=\frac{x^{\underline{3}}}{3}+\frac{x^{\underline{2}}}{2}=\frac{x(x-1)(x-2)}{3}+\frac{x(x-1)}{2}=\frac{x(x-1)(2x-1)}{6}$$

Que corresponde a nuestra forma cerrada estándar para $\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}$ .

Si no nos limitamos a las diferencias finitas integrales, también podemos utilizarlo para aproximar numéricamente derivadas e integrales de funciones continuas. Existen varios tipos de métodos de diferencia utilizado a menudo en la aproximación numérica al cálculo,

$$\Delta_{h}[f](x)=f(x+h)-f(x) \tag{2}$$ $$\nabla_{h}[f](x)=f(x-h)-f(x) \tag{3}$$ $$\delta_{h}[f](x)=f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)\tag{4}$$

Dónde $(2)$ se denomina diferencia hacia delante, $(3)$ se denomina diferencia hacia atrás, y $(4)$ se denomina diferencia central. Se pueden utilizar para aproximar la derivada utilizando la fórmula fórmulas siguientes :

$$f'(x)\approx\frac{\Delta_{h}[f](x)}{h}\approx\frac{\nabla_{h}[f](x)}{h}\approx\frac{\delta_{h}[f](x)}{h} \tag{5}$$

Que se utiliza a menudo cuando se requiere una evaluación no analítica de una derivada.

Answer 2

Aquí es un enlace. Hay algunas solicitudes al final.

Answer 3

Resolución ("integración") de ecuaciones en diferencias.

Formalmente, por supuesto, esto es lo mismo que encontrar formas cerradas de sumas.

Pero sólo el propio cálculo finito desvela esta equivalencia, del mismo modo que el cálculo diferencial relaciona la resolución de una ecuación diferencial con la integración de un área.

Answer 4

El cálculo discreto (término preferible, creo) tiene las mismas aplicaciones que el cálculo "continuo": caída libre, movimiento planetario, crecimiento de la población, oscilación de muelles, transferencia de calor, propagación de ondas, física newtoniana... Es lo que tiene el cálculo justo antes de tomar ese límite ( http://calculus123.com/wiki/Discrete_calculus ).