¿Existe una fórmula para calcular el área de un trapecio sabiendo la longitud de todos sus lados?

Question

Si todos los lados: $a, b, c, d$ son conocidos, ¿existe una fórmula que pueda calcular el área de un trapecio?

Conozco esta fórmula para calcular el área de un trapecio a partir de sus dos bases y su altura:

$$S=\frac {a+b}{2}×h$$

Y conozco una fórmula bien conocida para encontrar el área de un triángulo, llamada fórmula de Herón:

$$S=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

Pero no pude encontrar una fórmula para hallar el área de un trapecio en los libros.

Answer 1

Este problema es más sutil de lo que dejan ver algunas de las otras respuestas aquí. Mucho depende de si "trapecio" se define inclusivamente (es decir, como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos) o exclusivamente (es decir, como un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos). La primera definición se considera ampliamente más matemáticamente sofisticada, pero la última definición es más tradicional, todavía se utiliza extensamente en la educación K-12 en los Estados Unidos, y tiene algunas ventajas.

Como han señalado las otras respuestas, si uno define "trapecio" de manera inclusiva, entonces automáticamente cualquier paralelogramo es un trapecio, y dado que las longitudes de los lados de un paralelogramo no determinan su área, no es posible (incluso conceptualmente) que pueda haber una fórmula para el área de un trapecio en términos de sus longitudes laterales.

Sin embargo, si "trapecio" se define exclusivamente, entonces las cosas son bastante diferentes. Considere un trapecio con bases paralelas de longitud $a$ y $b$ con $b>a$. Sea $\theta$ y $\phi$ respectivamente los ángulos formados por las patas $c$ y $d$ con la base $b$. Entonces tenemos las siguientes relaciones: $$c\cos\theta + d\cos\phi = b-a$$ $$c\sin\theta = d\sin\phi$$ Estas condiciones determinan únicamente $\theta$ y $\phi, y por lo tanto entre los trapecios no paralelogramos, elegir las longitudes de los lados paralelos y las longitudes de las bases determina de manera única la figura. En particular tendríamos $$\cos\theta = \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)}$$.

La altura del trapecio sería entonces $h=c\sin\theta$ (o si prefieres $h=d\sin\phi$, que es igual a ello), por lo que el área del trapecio puede (en principio) ser calculada. Si realmente quieres llevarlo a cabo, tendrías

$$\sin\theta = \sqrt{1-\left( \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)} \right)^2}$$ por lo que el área sería $$A=\frac{a+b}{2}c\sqrt{1-\left( \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)} \right)^2}$$ No estoy seguro si hay una expresión más simple, sin embargo.

Answer 2

Para agregar una derivación que coloque el factor de la raíz cuadrada en un contexto heroniano ...

Para $c := |\overline{CD}| \neq |\overline{AB}| =: a$, $$|\square ABCD| = \frac12 (a+c) \cdot h = \frac12 (a+c) \cdot \frac{2 |\triangle AC^\prime D|}{|\overline{C^\prime D}|} = \frac{a+c}{|a-c|}\;|\triangle AC^\prime D|$$

Luego, aplicando la Fórmula de Herón a un triángulo con longitudes de lados $b$, $d$, $c-a$, tenemos $$|\triangle AC^\prime D| = \frac14\sqrt{((c-a)+b+d)(-(c-a)+b+d)((c-a)-b+d)((c-a)+b-d)\;}$$

Answer 3

Una nota para el caso en el que solo dos lados son paralelos, solo el conjunto de cuatro longitudes de los lados no determina el área. Se necesita información adicional para definir, cuál par de lados son paralelos. Un ejemplo ilustrativo para las longitudes de los lados $19,23,29,31$:

Answer 4

Así se calcula el área de un trapecio cuando se conocen los cuatro lados:

Answer 5

Pista (si conocemos los lados paralelos):

De la imagen:

toma: $a=AB, b=BC, c=CD, d=DA,x=AE$

entonces tenemos: $ h=ED=\sqrt{d^2-x^2}=\sqrt{b^2-(a-c-x)^2}=CF $

resolver para $x$ y encontrar $h=\sqrt{d^2-x^2}$

Encontrar el área $A=\frac {a+b}{2}h$