¿Existe una fórmula para calcular el área de un trapecio conociendo la longitud de todos sus lados?

Question

Si todos los lados: $a, b, c, d$ son conocidos, ¿hay una fórmula que pueda calcular el área de un trapecio?

Conozco esta fórmula para calcular el área de un trapecio a partir de sus dos bases y su altura:

$$S=\frac {a+b}{2}×h$$

Y conozco una fórmula bien conocida para encontrar el área de un triángulo, llamada fórmula de Herón:

$$S=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

Pero no pude encontrar una fórmula para encontrar el área de un trapecio en los libros.

Answer 1

Este problema es más sutil de lo que algunos de las otras respuestas aquí dan a entender. Mucho depende de si "trapecio" está definido de forma inclusiva (es decir, como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos) o de forma exclusiva (es decir, como un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos). La primera definición es ampliamente considerada más matemáticamente sofisticada, pero la última definición es más tradicional, aún se usa extensamente en la educación K-12 en los Estados Unidos, y tiene algunas ventajas.

Como han señalado las otras respuestas, si se define "trapecio" de forma inclusiva, entonces cualquier paralelogramo es automáticamente un trapecio, y como las longitudes de los lados de un paralelogramo no determinan su área, no es posible (incluso conceptualmente) que haya una fórmula para el área de un trapecio en términos de sus longitudes laterales.

Sin embargo, si "trapecio" está definido de forma exclusiva, entonces las cosas son bastante diferentes. Considera un trapecio con bases paralelas de longitud $a$ y $b$ con $b>a$. Sea $\theta$ y $\phi$ respectivamente los ángulos formados por las piernas $c$ y $d$ con la base $b$. Entonces tenemos las siguientes relaciones: $$c\cos\theta + d\cos\phi = b-a$$ $$c\sin\theta = d\sin\phi$$ Estas condiciones determinan de forma única $\theta$ y $\phi, y por lo tanto entre los trapecios no paralelogramos, elegir las longitudes de los lados paralelos y las longitudes de las bases determina de forma única la figura. En particular tendríamos $$\cos\theta = \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)}$$.

La altura del trapecio sería entonces $h=c\sin\theta$ (o si prefieres $h=d\sin\phi$, que es igual), por lo que el área del trapecio puede calcularse (en principio). Si realmente quieres llevarlo a cabo, tendrías

$$\sin\theta = \sqrt{1-\left( \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)} \right)^2}$$ entonces el área sería $$A=\frac{a+b}{2}c\sqrt{1-\left( \frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2c(b-a)} \right)^2}$$ Sin embargo, no estoy seguro si hay una expresión más simple.

Answer 2

Para agregar una derivación que coloque el factor de la raíz cuadrada en un contexto heroniano ...

Para $c := |\overline{CD}| \neq |\overline{AB}| =: a$, $$|\square ABCD| = \frac12 (a+c) \cdot h = \frac12 (a+c) \cdot \frac{2 |\triangle AC^\prime D|}{|\overline{C^\prime D}|} = \frac{a+c}{|a-c|}\;|\triangle AC^\prime D|$$

Luego, aplicando la Fórmula de Herón a un triángulo con longitudes de lados $b$, $d$, $c-a$, tenemos $$|\triangle AC^\prime D| = \frac14\sqrt{((c-a)+b+d)(-(c-a)+b+d)((c-a)-b+d)((c-a)+b-d)\;}$$

Answer 3

Una nota para el caso cuando solo dos lados son paralelos, solo el conjunto de cuatro longitudes de lado no determinan el área. Se necesita información adicional para definir, qué par de lados son paralelos. Un ejemplo ilustrativo para longitudes de lado $19,23,29,31$:

Answer 4

Así es como se calcula el área de un trapecio cuando se conocen los cuatro lados:

Answer 5

Pista (si conocemos los lados paralelos):

De la imagen:

tomamos: $a=AB, b=BC, c=CD, d=DA,x=AE$

entonces tenemos: $ h=ED=\sqrt{d^2-x^2}=\sqrt{b^2-(a-c-x)^2}=CF $

resolver para $x$ y encontrar $h=\sqrt{d^2-x^2}$

Encontrar el área $A=\frac {a+b}{2}h$