Dos afirmaciones sobre las composiciones

Question

Esta pregunta se inspira en La conjetura de la fortuna .

¿Puede aportar pruebas o contraejemplos de las dos afirmaciones siguientes?

Primera reclamación

Si $q$ es el menor primo mayor que $\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i+1$ , donde $\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i$ es el producto de la primera $n$ números compuestos , entonces $q-\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i$ es primo .

Las primeras diferencias de este tipo son :

3,5,5,5,11,7,23,11,29,17,31...

¡Pruébelo usted mismo!

Segunda reclamación

Si $q$ es el mayor primo menor que $\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i-1$ , donde $\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i$ es el producto de la primera $n$ números compuestos , entonces $\displaystyle\prod_{i=1}^n C_i-q$ es primo .

Las primeras diferencias de este tipo son :

2,5,11,5,23,17,13,11,13,23,53...

¡Pruébelo usted mismo!

He probado ambas afirmaciones hasta $n=660$ y no hubo contraejemplos .

Answer 1

Aquí hay una lista de cosas que sabemos (es una pista o ayuda, no una respuesta estricta, en parte porque no lo sé):

1. El producto q para n>1 tendrá el mismo resto modular mod 6 que q.

2. Cuando tomamos el producto hasta 2n, obtenemos al menos todos los primos menores o iguales a n hasta exponentes de 1 o más.

3. todos los primos menores que ${2\over 3}n$ aparecen al menos dos veces en el producto en 2.

4. En general, todos los primos menores de ${2\over a}n$ aparecerá al menos a-1 veces en el producto en 2.

   Todo esto significa que la diferencia no puede dividirse por ningún producto dentro del producto porque entonces q no sería primo. n# está dentro de este producto. por lo que la diferencia (de nuevo el caso 2n) ya ha sido factorizada por juicio hasta n.

Answer 2

Para la "primera reclamación" tenemos...

(quizás la notación no es correcta)

Dado

$$1 \le k \le n \textrm{ and } 1 < \ell < q,$$

entonces

$$q > \prod_{\imath=1}^n C_\imath \Rightarrow (q{ \not\mid}C_k) \wedge (C_k{\not\mid}q) \Rightarrow \ell{\not\mid}\left(q - \prod_{\imath=1}^n C_\imath\right),$$

de donde

$$q - \prod_{\imath=1}^n C_\imath$$

es un primo.

Estoy trabajando en la "segunda reclamación" :)

(corregida la errata... gracias a Peđa Terzić)