Con respecto a la compacidad de un espacio

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $X$ ser un topológico metrizable espacio. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) $X$ es compacto

(b) $X$ es limitada con respecto a cada métrica en $X$ que induce a la topología de $X$.

(c) Cada mapa continuo $f:X\to \mathbb R$ (con la métrica usual en $\mathbb R$) está acotada.

Mi intento de resolver el problema es el siguiente:

(a) implica (b): Vamos a $x\in X$ y deje $d$ ser una métrica que inducen a la topología en $X$. A continuación, $\{B_r(x):r>0\}$ es una cubierta abierta de a $X$. Desde $X$ es compacto, existe una bola con un radio de $s>0$ tal que $X=B_s(x)$. Por lo tanto $X$ está acotada.

Pero yo no podía seguir adelante. Por favor, ayudar en este sentido.

Answer 1

Sugerencia: para que (b) implica (c), se puede suponer que el $f:X\to\mathbb R$ es continua y acotada. Definir $\rho(x,y)=|f(x)-f(y)|+d(x,y)$ donde $d$ es la métrica en el espacio. Demostrar que esto es una métrica, esta métrica se induce la misma topología en $X$, pero $(X,\rho)$ es ilimitado.

Para (c) implica (a), suponga que el $X$ no es compacto, entonces existe una secuencia $(x_n)$ que no tiene convergente larga. Demostrar que el conjunto $A=\{x_n \mathrel{\big\vert} n\in\mathbb N\}$ está cerrada y que todos sus puntos son aislados, por lo que cada función definida en es continua, y el uso de la extensión de Tietze teorema.