Dados dos vectores cualesquiera no nulos $x,y$ ¿existe una matriz simétrica $A$ tal que $y = Ax$ ?

Question

Dejemos que $x,y$ sean vectores no nulos de $\mathbb{R}^n$ . ¿Es cierto que existe simétrico matriz $A$ tal que $y = Ax$ .

Yo razonaba de la siguiente manera. Teniendo una ecuación $y = Ax$ para alguna matriz simétrica $A$ equivale a poder resolver un sistema de $n + \frac{n^2-n}{2}$ ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + ... + a_{1n}x_n = y_1 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + ... + a_{nn}x_n = y_n \\ a_{12} = a_{21} \\ \vdots \\ a_{n,n-1} = a_{n-1,n} \end{cases}$$

Primero $n$ las ecuaciones son nuestras restricciones para la identidad $y = Ax$ sea cierto y lo siguiente $\frac{n^2-n}{2}$ para la simetría de $A$ . Así, en nuestro sistema tenemos $n^2$ variables y $\frac{n^2-n}{2} + n = \frac{n^2+n}{2}$ ecuaciones. Como $n^2 \geq \frac{n^2+n}{2}$ dicho sistema es siempre solucionable. Por eso, dicha matriz $A$ siempre existe.

Esta solución fue marcada como incorrecta en el examen, ¿dónde me equivoqué?

Answer 1

Si $y^T x \ne 0$ , puede tomar $A = (y^T x)^{-1} y y^T$ .

Si $y^T x = 0$ , toma $A = (x^T x)^{-1} (y x^T + x y^T)$ .

Answer 2

No es cierto que si tienes más variables que ecuaciones, el sistema sea siempre resoluble. Eso es como decir que una matriz con más columnas que filas es siempre onto, lo que también es falso.

Puede que haya una solución más hábil, pero lo primero que se me ocurrió fue esto: Que $d = ||x||$ . Entonces existe una matriz unitaria $U$ tal que $U(x) = (d,0,0,\ldots,0)$ : Se puede utilizar Gram-Schmidt para crear una base ortonormal cuyo primer vector es $x/d$ y luego $U$ es la matriz cuyas filas son esa base ortonormal. Ahora, existe una matriz simétrica A tal que $A(d,0,0,\ldots,0) = U(y)$ : Sólo hay que poner la primera columna de $A$ para ser $U(y)/d$ y luego rellenar el resto de las entradas para hacer $A$ simétrico. Ahora, $U^{-1}AU$ es su matriz simétrica deseada enviando $x$ a $y$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que su sistema no es homogéneo (ya que $y \neq 0$ ). Dado un sistema no homogéneo de $k$ ecuaciones en $n \geq k$ incógnitas, no siempre es cierto que este sistema tenga solución. Por ejemplo, el sistema

$$ 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 $$

claramente no tiene solución. En general, un sistema de $k$ ecuaciones en $n$ incógnitas define un mapa lineal $B \colon \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^k$ . Si $n > k$ entonces este mapa no puede ser uno a uno por lo que se sabe que el sistema homogéneo de ecuaciones $Bx = 0$ siempre tiene una solución no trivial $x \neq 0$ . Sin embargo, no se puede decir automáticamente que $Bx = y$ tiene solución porque $y$ puede no pertenecer a la imagen de $B$ .