Generalización de $f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)} \iff f$ continuo

Question

Una caracterización común de una función continua $f: X \to Y$ es que para cualquier $S \subset X$ , $f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)}$ . Del mismo modo, los mapas cerrados son tales que $f(\overline{S}) \supset \overline{f(S)}$ y también los hay en lo que respecta al interior. Tratando de extrapolar, se me ocurrieron las siguientes implicaciones: $$f(S^\circ) \subset f(S)^\circ \iff f\text{ open} \qquad f^{-1}(T^\circ) \subset f^{-1}(T)^\circ \iff f\text{ continuous}$$ $$f(S^\circ) \supset f(S)^\circ \quad (\text{relation?}) \qquad f^{-1}(T^\circ) \supset f^{-1}(T)^\circ \iff f\text{ open}$$ $$f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)} \iff f\text{ continuous}\qquad f^{-1}(\overline{T}) \subset \overline{f^{-1}(T)} \iff f\text{ open}$$ $$f(\overline{S}) \supset \overline{f(S)} \iff f\text{ closed} \qquad f^{-1}(\overline{T}) \supset \overline{f^{-1}(T)} \iff f\text{ continuous}$$

En primer lugar, me interesa saber si son correctas. En segundo lugar, ¿hay alguna forma de verlas menos como una colección de hechos y más como un todo unificado? ¿Por qué deberían ser éstas las implicaciones correctas? Tal vez, como pregunto en un pregunta relacionada ¿una caracterización en términos de filtros ayudaría?

Editar: He corregido algunas de las implicaciones tras las útiles aportaciones de Stefan y Alan.

Answer 1

Los vínculos entre estas propiedades se simplifican mucho cuando examinamos sus duales. Consideremos el functor $f_\forall :\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$ dado por $$f_\forall (S) := \{ y \in Y: f(x)=y \implies x \in S\}.$$ Se podría decir que es dual al functor de imagen directa normal que podríamos llamar $f_\exists$ . $f_\forall$ es adjunto a la derecha del functor $f^{-1}$ y $f_\exists$ es adjunto a la izquierda de $f^{-1}$ . En otras palabras, $$f(S) \subseteq T \iff S \subseteq f^{-1}(T), \qquad \text{and}$$ $$f^{-1}(T) \subseteq S \iff T \subseteq f_\forall (S).$$ Tenga en cuenta que $f(S^c)=f_\forall (S)^c$ . Esto implica que cualquier afirmación sobre conjuntos particulares, contención e imágenes sigue siendo cierta si se sustituye el conjunto por su complemento, se sustituye $f_\exists$ con $f_\forall$ y cambiar el orden de contención. Por ejemplo, $$f^{-1}(f(A)) \subseteq B \iff f^{-1}(f(A))^c \supseteq B^c \iff f^{-1}(f_\forall (A^c)) \supseteq B^c.$$ Además, podemos dualizar los enunciados que implican a los operadores de interior o de cierre si simplemente los intercambiamos. Así, por ejemplo $$f(\overline{S}) \subseteq f_\forall(f^{-1}(T^c)^\circ) \iff f_\forall((S^c)^\circ) \supseteq f(\overline{f^{-1}(T)}).$$

Como se supone que las relaciones que estamos viendo se mantienen para todos los conjuntos, no tenemos que preocuparnos de si estamos considerando el complemento o no, y podemos decir que $$f(S^\circ) \subseteq f(S)^\circ \quad \text{for all }S \subseteq X \iff f_{\forall}(\overline{S}) \supseteq \overline{f_\forall(S)}\quad \text{for all }S \subseteq X. \tag{*}$$ Por último, hay que tener en cuenta que $f$ lleva conjuntos abiertos a conjuntos abiertos si $f_{\forall}$ lleva conjuntos cerrados a conjuntos cerrados y viceversa.

Ahora queda claro que estas condiciones están vinculadas. En cuanto a las relaciones de la segunda columna, $$f^{-1}(T^\circ) \supseteq f^{-1}(T)^\circ \quad \forall T \iff f^{-1}(\overline{T}) \subseteq \overline{f^{-1}(T)} \quad \forall T,\,\, \text{and} \tag{**}$$ $$f^{-1}(T^\circ) \subseteq f^{-1}(T)^\circ \quad \forall T \iff f^{-1}(\overline{T}) \supseteq \overline{f^{-1}(T)} \quad \forall T.$$ Resulta que $\bigg( f^{-1}(T^\circ) \supseteq f^{-1}(T)^\circ \,\, \forall T \iff f$ continuo $\bigg)$ es bastante obvio, porque ambas condiciones son en términos del comportamiento de $f^{-1}$ . Por otro lado, $f$ estar abierto no está relacionado con el comportamiento de $f^{-1}$ Y yo diría que $\bigg( f^{-1}(T^\circ) \supset f^{-1}(T)^\circ \iff f\text{ open} \bigg)$ es menos obvio (mi estrategia sería empezar usando la adyacencia izquierda de $f_\exists)$ .

Ahora, para las relaciones del lado izquierdo, observe que $$ \bigg( f(S^\circ) \subset f(S)^\circ \,\, \forall S \iff f \text{ open} \bigg) \iff \bigg( f(\overline{S}) \supset \overline{f(S)}\,\, \forall S \iff f \text{ closed} \bigg), \tag{#}$$ por (*) y como $f$ está abierto si $f_\forall$ es cerrado y viceversa. La razón por la que podemos obtener esta equivalencia es que las propiedades duales apertura y cierre se formulan en términos del comportamiento de $f_\exists$ como las condiciones. De nuevo ocurre que $f(S^\circ) \subset f(S)^\circ \,\, \forall S \iff f \text{ open}$ es bastante obvio porque ambos son en términos del comportamiento de $f_\exists$ .

Esto deja sólo las condiciones $f(S^\circ) \supset f(S)^\circ$ y $f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)}$ . Desgraciadamente, tenemos los dos inconvenientes a la vez: las condiciones no son equivalentes como en (**), y la propiedad que se adhiere a esta última (la continuidad) no es en términos del comportamiento de $f_\exists$ por lo que no es fácil dualizarla y encontrar una formulación conveniente para la primera, como hicimos en (#).

Answer 2

En cuanto a la relación de misterio $f(S^\circ)\supseteq f(S)^\circ$ Me he pasado un rato intentando relacionar esto con la continuidad de alguna manera, y todas las desigualdades van por mal camino. Así que en lugar de buscar teoremas positivos, estoy buscando contraejemplos. Consideremos las funciones: $$f(x)=\left\{\begin{array}{11}x&x\in\mathbb{Q}\\-x&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array}\right.$$ and $$g(x)=\left\{\begin{array}{11}\vert x\vert&x\in\mathbb{Q}\\-\vert x\vert&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\end{array}\right.$$ La función $f$ no pasa la prueba, pero $g$ pasa la prueba. Esto se debe a que el rango de $g$ no tiene interior. Pero la gama de $f$ es igual a $\mathbb{R}$ . Entonces, si miras el conjunto $f(S)^\circ$ para $S=(\mathbb{R}^-\setminus\mathbb{Q})\cup\mathbb{Q}^+$ , se encuentra $f(S^\circ)=f(\emptyset)=\emptyset$ no es un superconjunto de $f(S)^\circ=\mathbb{R}^+$ . Pero en el caso de $g$ , se encuentra $g(S)^\circ=\emptyset$ para todos $S\subseteq\mathbb{R}$ . Así que la prueba pasa trivialmente.

Pero las funciones son realmente las mismas si se restringen a una mitad de la línea real. Así, la condición $f(S^\circ)\supseteq f(S)^\circ$ tiene un carácter altamente no local. No parece tener mucha relación con la continuidad. Pero quizá cambie de opinión si lo analizo más a fondo. Esta relación debería significar algo .

PS. Según mi investigación sobre esto, si $f$ es inyectiva y el rango de $f$ es un subconjunto abierto de $Y$ entonces $f$ es continua si y sólo si $f(S^\circ)\supseteq f(S)^\circ$ para todos $S\subseteq X$ . No veo cómo eliminar el requisito de que la gama sea un conjunto abierto. Tal vez no se pueda hacer. Estoy bastante seguro de que la inyectividad va a ser muy difícil de eliminar como condición. La necesidad de restricciones en $f$ parece hacer que esta condición sea diferente a las demás.

También debo mencionar que la condición de rango abierto sólo es necesaria para demostrar que la relación implica continuidad. Sólo se necesita la inyectividad y la continuidad para obtener la relación $f(S^\circ)\supseteq f(S)^\circ$ para todos $S\subseteq X$ .

Y un comentario más. Definir $h:[0,1]\to\mathbb{R}$ así. $$h(x)=\left\{\begin{array}{11}x&x<1\\2&x=1\end{array}\right.$$ Esta función es inyectiva y satisface claramente $h(S^\circ)\supseteq h(S)^\circ$ para todos $S\subseteq X=[0,1]$ . Pero está claro que no es continuo. El rango tampoco es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ . Así que creo que a tus 8 condiciones les falta, por desgracia, algo de simetría para esta única condición.

Y como un "último comentario" más, encontré que las fórmulas de la pregunta se asemejan en algunos aspectos a la cálculo secuencial . Me pregunto si existe algún tipo de conexión.

Answer 3

La sección de comentarios para esta pregunta es demasiado grande. Así que voy a poner mi comentario aquí abajo en la sección de respuestas.

Me parece que $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(\bar T)\supseteq\overline{f^{-1}(T)}$ para todos los subconjuntos de $Y$ . Lo comprobé un par de veces y no encontré ningún error. Luego lo busqué en Kelley, "General topology", 1955, página 86. Está de acuerdo conmigo. Así que puedes sustituir esa flecha por una flecha doble.