Frobenius kernel es normal primaria abelian p-subgrupo?

Question

Estoy tratando de Ejercicio 3.4.6 en Dixon & Mortimer, el libro de Permutación de Grupos:

Deje $G$ ser un número finito de primitivos permutación grupo abelian punto de estabilizadores. Mostrar que $G$ tiene una normal primaria abelian $p$-subgrupo de algunos de los mejores $p$.

Sé que si $G$ es una primitiva de permutación grupo abelian punto de estabilizadores y $G$ no dispone de primer orden, entonces es un Frobenius Grupo. Es también un Frobenius grupo si $G$ tiene orden finito?

Si es así, yo sé que el Frobenius kernel $K$ es normal y regular de los subgrupos de la Estructura Teorema para Finito de Frobenius Grupos. No estoy seguro de cómo ir sobre demostrando que $K$ es también una escuela primaria abelian $p$-subgrupo aunque.

Desde el Frattini Argumento sé que si $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $K$, entonces el producto directo de $K$ y la normalización de $P$ es igual a $G$. Pero si $G$ es Frobenius es también igual a la semi-producto directo de la Frobenius núcleo y complemento - tal vez yo pueda usar esto para mostrar que $K$ sí es una $p$-subgrupo? Y, por tanto, un elemental desde un producto directo de una $p$-subgrupo y la identidad (que es finito y cíclico de orden o $1$).

Estoy un poco atascado en cuanto a por dónde empezar en demostrar que $K$ es abelian, y todo esto es suponiendo que $G$ es un Frobenius grupo y $K$ es el subgrupo en cuestión!

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

¿Sabes el resultado que dice que Frobenius núcleos son nilpotent? El uso de que, a la mínima subgrupo normal es solucionable, y por lo tanto de primaria abelian.

Usted puede reducir al caso en el $G$ es Frobenius de la siguiente manera. En una primitiva de permutación grupo que no es cíclico de primer orden, el punto de estabilizadores debe fijar un único punto, o bien los conjuntos de puntos fijado por el punto de estabilizadores formarían un sistema de imprimitivity para $G$.

Supongamos que $G$ no es Frobenius y deje $g \in G$ revisión de más de un punto. Entonces, desde el punto de estabilizadores son abelian, el centralizador de $G$ contiene el punto de estabilizadores de cada uno de los puntos fijos de $t$, los cuales son distintos, por lo $C_G(t)$ correctamente contiene un punto de estabilizador, contradiciendo el resultado de que estos son máximas subgrupo de $G$.