La teoría de Galois es la teoría de la dualidad entre profinite grupos asociados a los campos y cerrado subgrupos que surgen de doble campo para las extensiones del campo original. Se trata de el álgebra de polinomios sobre un campo y cómo eso ayuda a entender otros campos construidos en forma algebraica a partir de la original de campo, es decir, a partir de raíces de polinomios sobre un campo. Algunos ejemplos básicos son
$$\Bbb Q(i)=\Bbb Q[x]/(x^2+1), \quad \Bbb Q[x]/(x^5+x-1)$$
La última no tiene un simple descripción en términos de las habituales operaciones algebraicas tales como $\sqrt[n]\cdot$ o $+,-,\cdot, /$, pero de todos modos es un ejemplo, porque habla de las raíces de un polinomio con coeficientes racionales. En realidad, fue la cuestión de la resolución de polinomios utilizando los radicales que originalmente motivó a Galois a crear la noción de lo que ahora llamamos la teoría de Galois.
que se construye a partir de los racionales, añadiendo a la raíz cuadrada de $-1$, que es una raíz de un polinomio con coeficientes en el campo base, $\Bbb Q$.
Estás en lo correcto en decir que es uno de los aspectos del estudio de los campos, al menos en la teoría clásica.
Debido a las implicaciones en cómo Galois grupos de ley, también tiene aplicaciones en la comprensión entero anillos para el mundial de campos como el de la ramificación, la inercia, y la división de comportamiento de los números primos (ver Artin reciprocidad para el abelian caso), y en el actual mundo de matemática de la no-conmutativa de la teoría de Galois está conectado con el programa de Langlands, una popular zona de estudio relacionadas con cosas como automorphic formas y otras áreas de la teoría de números. Para curvas elípticas definidas sobre un campo, el Galois de acción es indispensable, en particular para la representación en la $\ell$-ádico Tate módulo. Otros temas incluyen Galois cohomology de donde se deriva el valor incalculable de Hilbert Teorema de 90 y Kümmer teoría, tanto a nivel central para la clase de teoría de campo y la segunda ayuda a describir una amplia clase de útiles extensiones algebraicas, en particular para los radicales y abelian.
Para temas que no entran dentro de adentrarse en el de la teoría de Galois, que están considerando la posibilidad de no algebraicas aspectos de campos, por ejemplo. la trascendencia, que es el caso cuando carecen totalmente de un polinomio y su extensión es de grado infinito, no hay manera de romper a través de finito de piezas. El otro caso es el inseparables uno donde el polinomios son en cierto sentido "simple", pero son demasiado simples para dar lugar a la estructura del grupo de simetría debido a que las raíces no pueden ser separados el uno del otro.
Un ejemplo de cada uno
$$\Bbb F_p(t)[x]/(x^p-t)$$
cuando la extensión es no separable, porque todas las raíces del polinomio son los mismos debido a la característica positiva, de hecho, si $z$ es uno de ellos, vemos a $x^p-t=(x-z)^p$.
$$\Bbb{Q}(x_1,\ldots, x_n)/\Bbb Q$$
donde los elementos contiguos son una de las variables formales, no de las raíces de un polinomio en $\Bbb Q$, por lo que da lugar a una infinita (trascendental) de extensión. Estas extensiones son muy útiles, ya que pueden ayudar a demostrar que todos los grupos finitos son el grupo de Galois de algunas de campo (que no debe confundirse con la inversa de Galois problema que se aborda sólo extensiones de $\Bbb Q$). Esto también es parte de la esencia de la idea de que todos los profinite grupos son grupos de Galois para algunos de extensión de campo.
