¿Cuál es el significado de $\frac{d}{dx}+x$ en $(\frac{d}{dx}+x)y=0$ ?

Question

Creo que entiendo el significado de los infinitesimales $dx$ y $dy$ . Entiendo que $dx/dy$ es la relación entre un cambio infinitamente pequeño en $x$ a un cambio infinitamente pequeño en $y$ . Sin embargo, no puedo imaginar lo que $(\frac{d}{dx} +x)y=0$ está tratando de decir.

Si dice $\frac{d}{dx}y$ Entiendo que esta sería la notación para la derivada de $y$ . Sin embargo, $\frac{d}{dx}$ no está emparejado con ningún número real del que sería sensato tomar la derivada, está solo. Lo interesante es que el profesor toma el enunciado $(\frac{d}{dx} +x)y$ y multiplica $y$ , haciendo que $\frac{dy}{dx}+xy$ que es una afirmación que puede tener sentido. Sin embargo, no puedo entender cómo esto fue un movimiento legal.

Aquí es un enlace con fecha y hora al vídeo en el que aparece el problema.

Answer 1

Otra forma de escribir esto es $y'(x) + xy(x)= 0$ .

Lo que debes hacer es muy probablemente resolver la ecuación diferencial así dada. Es decir, determinar una función $f(x)$ tal que $f'(x) + x f(x) = 0$ .

O simplemente puede ser la afirmación de que una (cierta) función es $y(x)$ tiene esa propiedad. En un sentido formal no es tan diferente de, por ejemplo, $y^2 + y x= 0$ que también es una ecuación que implica $y$ y $x$ y algunas operaciones sobre estas funciones. La única diferencia es que aquí tienes la operación adicional "tomar derivada".

Answer 2

Los símbolos $d/dx$ y $x$ deben interpretarse ambos como operadores lineales que actúan sobre un espacio vectorial que la función desconocida $y$ pertenece a. La suma de operadores lineales está bien definida y es exactamente así como la $y$ termina entre o fuera de los soportes. El primer operador actúa por diferenciación y el segundo por multiplicación puntual.