Puede una larga repetición de un término de un número finito de veces?

Question

Supongamos $\{a_n\}$ es una secuencia. Deje $f(n)$ ser una función creciente(no estrictamente) tal que $f$ toma cada uno de sus valores de un número finito de veces, luego no $\{a_{f(n)}\}$ tienen el mismo límite como $\{a_n\}$ (asumiendo $\{a_n\}$ converge)? No $\{a_{f(n)}\}$ ser considerada una larga de $\{a_n\}$?

ACTUALIZACIÓN: Editado para aclarar lo que quiero decir.

Answer 1

La definición estándar de subequence requiere de $f(n)$ a ser estrictamente creciente. Ver esto por ejemplo.

Si lo entiendo correctamente, usted permitiría $f$ a ser algo así como

$$f(n) = \begin{cases} 1 & \text{if $1 \le n \le el 5$} \\ n & \text{ if } 5 \lt n \end{cases} $$

Para esto $f$, la secuencia de $a_{f(n)}$ no se considera para ser una larga de $a_n$ por la definición habitual; pero es todavía una secuencia, y lo hace de hecho convergen al mismo límite de $a_n$.

Y esto, por supuesto, tiene en general; mediante la repetición de algunos de los términos, que son simplemente "retrasar" la $N$ después de que cada término será dentro de $\epsilon$ del límite.

Creo que es probable que entender la idea, pero sólo para abordar su última frase: el $a_{f(n)}$ no se considera una larga porque, y sólo porque $f$ no es estrictamente creciente.

Answer 2

No. Una larga no es sobre "la elección de los términos de la secuencia", pero sobre la selección de un subconjunto de índices. Así que si su secuencia es $$(a_1,a_2,\ldots),$$ then a subsequence is determined for example by choosing the even indices: $$(a_2,a_4,a_6,\dots),$$ or the multiples of 7, $$(a_7,a_{14},a_{21},\ldots),$$ or in general any strictly increasing function $\gamma:\mathbb N\to \mathbb N$, and the subsequence is given by $$(a_{\gamma(1)},a_{\gamma(2)},\ldots).$$

Answer 3

Deje $S= \{a_i\}$ ser la secuencia de $\{\frac 1n\}$$S = \{1,\frac 12,\frac 13,\frac 14, ....\}$.

Deje $f(1)= 1,f(2) = 1$ pero $f(k) = k$$k > 2$.

A continuación,$T = \{a_{f(i)}\} = \{1,1,\frac 13, \frac 14\}$.

A continuación, $T$ no es un subsequence de $S$ porque $T$ tiene dos términos de igual a $1$ pero $S$ sólo tiene uno.

Sin embargo, sí, $\lim a_i = \lim f_{f(i)} = 0$. (Asumiendo $\lim f(n) = \infty$)

Pero ¿por qué tendría que implican $T$ es larga de $S$????

Muchas de las secuencias convergen al mismo límite. Considere la posibilidad de $S= \{2 + \frac 1k\}$$T = \{2- \frac 1k\}$. A continuación,$S = \{3,2\frac 12, 2\frac 13,2\frac 14, ....\}$$\lim S = 2$. Pero $T = \{1, 1\frac 12, 1\frac 23, 1\frac 34,....\} $$\lim T = 2 = \lim S$.

Pero nadie puede reclamar es el subconjunto de la otra.