Es una $SU(2)$ supergauge teoría realmente un $SU(2)$ teoría de gauge?

Question

Considere la posibilidad de $SU(2)$ supergauge la teoría con la $A$, un doblete de dos quirales superfields en los fundamentales de la representación.

$$A= \begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Phi_2 \end{pmatrix}$$ donde $\Phi_1$ $\Phi_2$ son quirales superfields. Ya hemos dicho que es en lo fundamental la representación se transforma

$$A\to{}A'=e^{i\sigma_j\phi_j}A$$

donde $\sigma_j$ son las matrices de Pauli. Si $e^{i\sigma_j\phi_j}$ una $SU(2)$ de la matriz, a continuación, el $\phi_j$ debe ser real. Sin embargo, esto haría de $A'$ ya no quirales a menos $\phi_j$ de las mismas son quirales superfields, que es el complejo de las funciones de decisiones $e^{i\sigma_j\phi_j}$ $SU(2)$ matriz.

Por lo tanto, esta es ya una correcta $SU(2)$ teoría. ¿Qué está pasando?

Answer 1

Estás en lo correcto al afirmar que el doblete $A'$ deja de ser quiral si su medidor de parámetros de $\phi_j$ son reales. De hecho, en una $\mathcal{N} = 1$ (global) supersimétricas teoría de gauge, un indicador de la transformación es que no se da por lo que escribí más arriba. Trabajando en el superfield formalismo, un supersimétricas indicador de la transformación de un quirales superfield $\Phi$ en representación $R$ del grupo gauge $G$ está dado por $$\Phi \rightarrow \Phi' = e^{i \Lambda} \Phi,$$ donde$\Lambda \equiv \Lambda_a T_R^a$, $T_R^a$ los generadores en la representación adecuada (las matrices de Pauli, en el ejemplo).

Estos medidor de parámetros de $\Lambda_a$ son, como se sospecha, quirales superfields, cuya más bajos de los componentes de la' $\lambda_a$ (véase la ecuación de abajo) son los campos complejos.

El $\Lambda_a$ son de hecho las funciones complejas de superspace coordenadas, es decir, el espacio-tiempo $x^\mu$ y el Grassmann números de $\theta_\alpha, \overline\theta_{\dot \alpha}$. Explícitamente (diferentes convenios puede ser en el juego): $$\Lambda_a \equiv \Lambda_a(x,\theta,\overline\theta) = \lambda_a(x) + \sqrt{2} \theta \psi^\lambda_a(x) + i \theta \sigma^\mu \overline \theta \partial_\mu \lambda_a(x)- \theta \theta F^\lambda_a(x)\\ \qquad- \frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta \partial_\mu \psi^\lambda_a(x) \sigma^\mu \overline \theta \frac{1}{4} \theta\theta\overline\theta\overline\theta \square \lambda_a(x).$$ Del mismo modo, $\Phi(x,\theta,\overline\theta) = \phi(x)+ \sqrt{2} \theta \psi(x) - \theta \theta F(x) + (\ldots)$.

Si mi medidor de grupo, es decir, $G = \textrm{SU}(N)$, afirman que la teoría no es más un adecuado $\textrm{SU}(N)$ teoría, ya que $e^{i\Lambda}$ no es (teniendo en $R$ a ser el fundamental de la representación) $\textrm{SU}(N)$ matriz.

Sin embargo, el hecho es que después de la integración de más de Grassmann coordenadas -- así ocultar la superfield construcción -- los reales de Lagrange de la teoría donde la invariancia gauge se manifiesta en la forma habitual.

En particular, el asunto cinética parte de la Lagrangiana de un medidor de materia SUSY teoría es dado, utilizando superfields, por: $$\mathcal{L}_\textrm{kin} = \int d\theta^2 d\overline\theta^2 \, \overline\Phi e^{V} \Phi,$$ donde$V \equiv V_a T_R^a$, $V_a$ real/vector superfields (general superfields limitado por $\overline V_ a = V_a$).

El medidor de transformación de actos en el vector superfields de la siguiente manera: $$e^V \rightarrow e^{i\overline\Lambda} e^V e^{-i\Lambda},$$ garantizar que en superspace nuestra teoría es SUSY-invariante gauge.

La integración de ahora sobre el Grassmann coordenadas $\theta, \overline\theta$, uno encuentra (omitiendo gaugino interacciones medicamentosas y de condiciones con el auxiliar de campos): $$\mathcal{L}_\textrm{kin} \supset |D_\mu \phi(x)|^2 -i\overline\psi(x) \overline\sigma^\mu D_\mu \psi(x),$$ donde (hasta un factor de $2g$ donde $g$ es el indicador de acoplamiento) la derivada covariante $D_\mu$ es la usual. Esto es perfectamente normal gauge invariante de Lagrange, es decir, invariante bajo costumbre calibre transformaciones. Aquí, es $\phi(x)$ ($\Phi$ superfield más bajo del componente), que se transforma a medida que usted escribió, en la misma representación $R$.

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N. B.: tengo sistemáticamente omitido medidor de índices, $\Phi$ $\Phi^i$ (y por lo tanto $\phi$ es $\phi^i$, $i=1,\ldots,\textrm{dim }R$), correspondiente a $A$ en su ejemplo, ($i=1,2$).

Lectura recomendada: el capítulo 4.3.1 de R. Argurio `Introducción a la Supersimetría", disponible en línea.